Заметки о теоретической физике → 2011 → 03 → 22
Михаил Гойхман

AdS/CFT соответствие. Некоторые примеры вычисления корреляционных функций.

22 марта 2011 года, 02:18

Предыдущий пост был посвящен описанию основ AdS/CFT соответствия. В конце я пообещал привести примеры конкретных расчетов корреляционных функций методом голографии, когда корреляционные функции теории поля вычисляются с помощью супергравитации в объеме, в пространстве-времени большей на единицу размерности. Этим и займемся в этом посте. Будем тесно следовать результатам, приведенным в работе Эдварда Виттена «Anti de Sitter Space and Holography», которая лежит в основе всего обсуждаемого ниже. В той работе развивается идея голографии в качестве описания того, что представляет собой AdS/CFT соответствие. Суть этой идеи понять легко, по крайней мере на классическом уровне. Действительно, возьмите обычное скалярное поле. Оно удовлетворяет уравнению Лапласа. Если рассматривать краевую задачу в шаре, то ясно, что, задав граничные условия на сфере, мы полностью определим динамику поля внутри шара. Совершенно аналогичное утверждение верно в применении к евклидовой форме пространства AdS и его границе.

Обратите внимание на то, что on-shell величины объема соответствуют off-shell величинам границы. В примере выше мы действительно решили уравнение Лапласа в объеме при произвольных (off-shell) условиях на границе.

В некотором роде AdS можно тоже представить как открытый шар, так что координатная область задания AdS есть открытый шар $$\inline \sum _{i=0}^dy_i^2<1$$, а физическое расстояние — интервал — определяемый метрикой в данных координатах yi — расходится при приближении к границе шара:

$$ds^2=\frac{4\sum\limits_{i=0}^ddy_i^2}{(1-|y|^2)^2}.$$

Отсюда известная картинка, изображающая AdS и показывающая координатные расстояния, а не физическое расстояния:

  

Введение

1. Итак, наша задача состоит в установлении соответствия между теорией поля на границе AdSd+1 и супергравитацией (приближающей суперструну) в AdSd+1. Для этого напомним обозначения.

Мы рассматриваем Евклидово пространство AdS, то есть пространство-время с метрикой AdS, но с положительной сигнатурой. Выберем координатную систему Пуанкаре, в которой эта метрика записывается следующим образом:

(1)$$ds^2=\frac{1}{x_0^2}\sum _{i=0}^d(dx_i)^2.$$

Здесь x0 > 0. Пространство AdS в таких координатах имеет границу, представляющую собой Rd при x0 = 0 и бесконечно удаленную точку P при x0 = ∞ (в этой точке расстояние между любыми точками, как видно из выражения для метрики, просто равно нулю).

2. Теперь выведем формулу, которой будем пользоваться в расчетах корреляционных функций. Пусть φ есть любое поле в объеме, а φ0 - его значение на границе. В силу дуальности между теориями в объеме и на границе, полю φ в объеме должен соответствовать некий оператор  $${\cal O}$$, описывающий калибровочно-инвариантным образом некую величину в теории на границе. Замечу, что из простого примера голографии выше вовсе не следует что φ0 и есть то самое граничное поле, которое соответствует полю в объеме φ. Действительно, это всего лишь граничное значение того же самого поля из суперструной части соответствия, в то время как QFT-часть соответствия содержит свои собственные поля.

Далее, со струнной стороны мы имеем статистическую сумму для всевозможных конфигураций поля φ в объеме, при данном граничном значении φ0 (в дальнейшем перейдем в объеме on-shell для конкретных расчетов):

$$Z_{string}(\varphi _0)=\int\limits_{\varphi _0}\! D\varphi\, e^{-S_{string}}.$$

Постольку поскольку квантовая теория определяется статистической суммой, и одновременно эта же квантовая теория дуальным образом должна выражаться в терминах теории поля на границе, значение Z(φ0) должно быть выражаемо через нечто из CFT, также зависящее от φ0. В этом месте выдвигается ключевая формула соответствия:

$$Z_{string}(\varphi _0)=\langle\exp{\int\limits_{boundary}\varphi _0 \,{\cal O}}\rangle.$$

Это довольно формальное выражение,  и должно сопровождаться конкретными указаниями для расчетов, когда возникают расходимости. На примерах ниже подтверждается, что формула дает правильные корреляционные функции для $${\cal O}$$. Однако сейчас уже стоит заметить, что формула имеет именно такой вид потому, что именно так она будет отражать идею голографии, при которой поле $${\cal O}$$ со стороны QFT на границе посредством минимального взаимодействия (обратите внимание, что граничное значение φ0 функции φ из объемной теории играет роль источника для полей $${\cal O}$$ из граничной теории, что используется, естественно, при вычислении корреляционных функций в граничной теории) воздействует на динамику поля φ в объеме. Например, в теории супер-Янга-Миллса мы имеем константу связи gYM2. Качественный анализ AdS/CFT соответствия приводит к тому, что gYM2 = 4πgs. Здесь gs = eΦ есть струнная константа связи (точнее константа связи действие супергравитации), где Φ есть дилатон (синглет Лоренцевой калибровочной группы из бозонного сектора мультиплета супергравитации). Мы тогда видим, что действие SYM на границе содержит в качестве множителя струнную константу связи, выражаемую через дилатон. Естественно тогда, что весь Лагранжиан CFT (уже без константы связи) есть калибровочно-инвариантный оператор, соответствующий полю дилатона в супергравитации в объеме. Другой пример — соответствие между тензором энергии-импульса в CFT и метрикой в AdS.

3. Теперь мы переходим on-shell в объеме. Поле φ не интегрируется по всевозможным конфигурациям, а просто рассматривается как решение классических уравнений супергравитации с данным граничным услвоием φ0. Хочу напомнить, что в данном контексте φ — любое поле из мультиплета супегравитации, не обязательно дилатон (не обязательно — скаляр). Так вот, подобный классический переход подразумевает, разумеется, малость константы связи в супергравитации, валидирующей его. В результате просто имеем

$$Z_{string}(\varphi _0)=e^{-I_S(\varphi)}.$$

Теперь мы полностью готовы к расчету корреляционных функций в теории на границе. Мы должны просто взять классическое решение в объеме, подставить его в действие, потенцировать, получив таким образом классическую аппроксимацию стат. суммы, и потом проварьировать по φ0, являющимся источником для калибровочного поля $${\cal O}$$ на границе. С последующим занулением источников (когда необходимо) получаем корреляционные функции.

Скалярное поле

Рассмотрим классическую динамику свободного безмассового скалярного поля φ (скажем, дилатона, поскольку мы рассматриваем супергравитацию) в объеме AdSd+1. Она описывается действием

$$I(\varphi)=\frac{1}{2}\int d^{d+1}y\sqrt{g}|d\varphi|^2.$$

Мы фиксируем граничное условие φ0 и записываем уравнение Лапласа — являющееся уравнением движения нашего скалярного поля — в метрике (1) для функции Грина K(x0), которая зависит только от x0 в силу независимости постановки задачи от трансляций пространственных координат:

$$\frac{d}{dx_0}x_0^{-d+1}\frac{d}{dx_0}K(x_0)=0.$$

Выписываем решение

$$K(x_0)=cx_0^d.$$

Это решение расходится в точке P на границе (x0 = ∞), причем на самом деле K становится дельта-функцией. Пока неясно, как так происходит, поэтому сделаем замену координат, представляющую собой конформную инверсию:

$$x_i\rightarrow\frac{x_i}{x_0^2+\sum _{j=1}^dx_j^2}$$

для всех координат: i = 0, ..., d. Тогда получаем, что P переходит в точку xi = 0, i = 0, ..., d, а также

$$K(x)=c\frac{x_0^d}{(x_0^2 +\sum _{j=1}^dx_j^2)^d}.$$

Тут стоит вспомнить, что писал Рома в посте про ультрабуст. А именно, представление для дельта-функции, упомянутое там. Адаптация к нынешнему d-мерному случаю дает K(x) являющуюся дельта-функцией от xi = 0, i = 1, ..., d, когда x0 → 0.

В результате решение уравнения Лапласа с данным граничным значением в x0 = 0 выглядит следующим образом:

$$\varphi (x_0,x_i)=c\int d{\bf x}'\frac{x_0^d}{(x_0^2+|{\bf x}-{\bf x}'|^2)^d}\varphi _0(x_i').$$

Подставляя это выражение в on-shell действие I(φ), получаем после некотрых простых вычислений

$$I(\varphi)=\frac{cd}{2}\int d{\bf x}d{\bf x}'\frac{\varphi _0({\bf x})\varphi _0({\bf x}')}{|{\bf x}-{\bf x}'|^{2d}}.$$

Очевидно, что теперь, варьируя по граничным значениям φ0, мы действительно получим правильные корреляционные функции для оператора $${\cal O}$$ с конформной размерностью d. Действительно, в силу лагранжиана взаимодействия $$\varphi _0{\cal O}$$, усредняемого в CFT-части по путям, получаем, что для скалярного поля с нулевой конформной размерностью поле $${\cal O}$$ с необходимостью имеет конформную размерность d. Поэтому двухточечные функции имеют совершенно правильный вид, когда выводятся таким методом.

Ключевые слова: гравитация, конформная теория поля, AdS/CFT | Оставить комментарий