Заметки о теоретической физике → 2011 → 03 → 18

AdS/CFT соответствие

18 марта 2011 года, 17:01

После небольшого отступления от современной теоретической физики, осуществленного Ромой, давайте вернемся к тому, что было разработано относительно недавно.

Введение

В конце 1997 года Х. Малдасена опубликовал работу под названием «The Large N limit of superconformal field theories and supergravity», которая отчасти основывалась на ранних работах т'Хуфта касательно упрощения расчетов в калибровочных SU(N) теориях в пределах большого количества цветов N. В этой статье был сделан ряд наблюдений, суммирующихся в гипотетическое (на том этапе, и существенно обоснованное впоследствии) соответствие между конформной SU(N) теорией поля и теорией суперструн в пространстве-времени большей размерности (существенно пространством AdS в прямом произведении с компактным пространством, скажем сферой). Результаты этой работы впоследствии были детально изложены в обстоятельной (~250-ти страничной) статье Малдасены и др. «Large N field theories, string theory and gravity». Интересные конкретные расчеты, подтверждающие соответствие, были проведены в работе Виттена «Anti de Sitter space and holography». В этом посте я преимущественно следую именно последним двум статьям.

Соответствие между двумя теориями, в данном случае между конформной теорией поля и теорией суперструн (или приблизительно — теории супергравитации) в пространстве-времени с размерностью большей на единицу (умноженного вдобавок на некоторое компактное многообразие, скажем сферу, или деление сферы группой дискретных симметрий — орбифолдность, и т.д., дабы получить теорию суперструн именно в десятимерии) называется дуальностью. Вообще говоря, если есть две теории, между которыми можно установить 1-1 соответствие путем сопоставления различных физических параметров одной теории и параметров другой теории, то такие теории называются дуальными. Простейший пример из теории струн есть T-дуальность, которая устанавливает эквивалентность теории струн с одним из пространственных измерений компактифицированном на окружности радиуса R и на окружность радиуса 1/R. При этом спектр обоих теорий совершенно одинаков (напомню что для замкнутых струн необходимо одновременно также переставить КК квантовое число и число обмоток вокруг компактного направления). То есть две теории с по сути разными физическими параметрами совершенно эквивалентны (дуальны) друг другу. Излишне напоминать, что слово дуальность известно из принципа корпускулярно-волнового дуализма, когда два принципиально различных способа описания квантов применяются дополнительно друг к другу в зависимости от конкретики рассматриваемого явления. Этот последний пример очень важен в данном контексте. Действительно, среди физических дуальностей имеется так назывемая S-дуальность, которая устанавливает соответсвтие между сильно и слабо взаимодействующими теориями (пример из QED с монополем — симметрия относительно замены электрических и магнитных величин — в вакууме сводящаяся к замене электрических и магнитных полей — с учетом условия квантования Дирака eg ~ n для электорического заряда e и магнитного заряда g). Тогда для описания сильновзаимодействующей теории можно на самом деле воспользоваться теорией возмущения со стороны слабовзаимодействующей дуальной теории. В AdS/CFT ситуация аналогична (хотя, насколько я знаю, S-дуальностью она не именуется) в том смысле, что сильносвязанная CFT дуальна именно слабосвязанной теории струн, и наоборот.

BPS состояния

Для начала стоит напомнить некоторые факты из теории суперструн. Как известно в теории суперструн типа-IIB существуют солитонные решения, являющиеся Dp-бранами, т.е. протяженными объектами с p продольными измерениями. В теории типа-IIB число p должно быть нечетным. Устойчивость подобного решения обеспечивается тем, что Dp-брана имеет RR-заряд, благодаря которому она взаимодействует с полем замкнутых струн, а именно с RR-сектором безмассовых возбуждений замкнутых струн. Одного заряда не достаточно для стабильности, ключевым является специальное соотношение между массой и зарядом, называемое насыщением BPS-ограничения, или BPS-состоянием. Это понятие из $${\cal N}$$-расширенной суперсимметрии, когда (часть) центральных зарядов совпадает по величине с массой частиц супермультиплета, и потому число повышающий операторов, сформированных из генераторов суперсимметрии и строящих супермультиплет, снижается. Простейший пример — киральный супермультиплет $${\cal N}=1$$ суперсимметрии — когда имеется (в D = 4) только один повышающий оператор, вместо двух — как для массивного (и потому некирального) $${\cal N} =1$$, D = 4 супермультиплета. В случае кирального $${\cal N}=1$$ супермультиплета суперсимметрия нерасширенна и потому все центральные заряды (отождествляемые с RR-зарядами в случае суперструн) просто равны нулю, соответственно насыщение BPS-ограничения просто означает нулевую массу. Пропорциональность (в подходящих единицах и нормировках — равенство) между центральным зарядом и массой обеспечивает стабильность Dp-браны при условии одновременного сохранения заряда и энергии-импульса.

Черные p-браны и предел их геометрии вблизи горизонта

Далее, Dp-браны теории суперструн на самом деле могут рассматриваться как решения супергравитации, являющейся низкоэнергетическим пределом соответствующей теории суперструн. В нашем случае это супергравитация типа-IIB. Среди ее решений имеются статические объекты, являющиеся прямым аналогом Шварцшильдовской черной дыры (вообще говоря, заряженной черной дыры Керра) — черные p-браны. Критическая (стабильная, имеющая нулевую температуру излучения Хокинга, и потому отождествляемая со стабильной Dp-браной теории суперструн) черная p-брана, как и Dp-брана теории суперструн, имеет массу, равную заряду. За счет массы (и заряда) p-брана искривляет геометрию, которую можно найти решая совместную систему уравнений Максвелла-Эйнштейна. А именно, метрика выглядит следующим образом:

$$ds^2=\frac{1}{\sqrt{H(r)}}\left(-dt^2+\sum _{i=1}^pdx^idx^i\right)+\sqrt{H(r)}\sum _{a=1}^{9-p}dr^adr^a$$

(dp есть некий численный фактор) и представляет собой обобщение решения заряженной черной дыры Керра. Здесь введены обозначения

$$H(r)=1+\frac{r_p^{7-p}}{r^{7-p}},\quad r_p^{7-p}=d_pg_sNl_s^{7-p}.$$

При этом связь между дилатоном (скаляр из мультиплета супергравитации) Φ и струнной константой связи gs следующая:

$$e^\Phi =g_sH^{(3-p)/4}$$

Решение имеет горизонт в r = 0 (по сути решение в такой форме определено до горизонта).

Черная брана с такой метрикой имеет RR заряд N, создающий поток через окружающую ее (8 − p)-сферу:

$$\int _{S^{8-p}}F_{8-p}=N$$

С точки зрения Dp-бран тут мы имеем просто напросто N совпадающих Dp-бран, каждая из которых имеет заряд, равный единице.

В специальном случае p=3 мы имеем постоянный дилатон, связанный со струнной константой связи как gs = eΦ . Также R = r3 = 4π gs'2 есть характерный масштаб длины в такой пространственно-временной конфигурации. Вблизи горизонта r → 0 решение для черной 3-браны имеет вид

$$ds^2=(r/R)^2dx\cdot dx +(R/r)^2dr^2+R^2d\Omega _5^2.$$

Здесь под координатами x подразумеваются координаты вдоль браны, как и раньше r есть радиальная координата «от браны к окружающей ее» сфере S5. Вводя переменную z = R2/r мы получаем метрику

$$ds^2=R^2\frac{dx\cdot dx+dz^2}{z^2}+R^2d\Omega_5^2.$$

Эта метрика пространства AdS5×S5, где метрика AdS5 записана в Пуанкаре-координатах, покрывающих половину всего пространства. Как AdS, так и сфера имеют одинаковый «радиус» R.

Пространство AdS5×S5

Такое пространство-время сохраняет все суперсимметрии теории. Чтобы это доказать, нужно вспомнить как вообще определить число суперсимметрий, сохраняемых неким решением уравнений супергравитации, т.е. неким конкретным гравитационном фоном (это особенно полезно при изучении компактификации, когда например теория суперструн в десяти измерениях компактифицируется на некотором многообразии Калаби-Яу, которое сохраняет только четверть от всех суперсимметрий. В результате низкоэнергетический вакуум имеет 4 суперсимметрии в = 4, т.е. получаем $${\cal N}=1$$ MSSM, вместо 16 исходных суперсимметрий гетеротической суперструны. Аналогичные реузультаты имеют место и для других компактификаций, в том числе суперструн типа-II с 32 суперсимметриями).

Сосредоточимся для примера на $${\cal N}=1$$ D = 4 супегравитации с космологической постоянной Λ. Следуя Малдасене запишем действие теории:

$$S=\int d^4x\left(-\sqrt{g}({\cal R}-2\Lambda)+\frac{1}{2}\epsilon ^{\mu\nu\rho\sigma}\bar\psi _\mu\gamma ^5\gamma _\nu\tilde D_\rho\psi _\sigma\right).$$

Классический фон не содержит гравитино ψμ, а просто представляет собой некий фон искривленного пространства-времени. Так что поле гравитино нужно занулить. Однако, тогда возникает вопрос о суперсимемтричности подобного фона без гравитино. Нужно вспомнить преобразования локальной суперсимметрии:

$$\delta V_{a\mu}=-i\bar\epsilon (x)\gamma _a\psi _\mu,$$

$$\delta\psi _\mu =\tilde D_\mu\epsilon (x),$$

где

$$\tilde D_\mu =D_\mu+\frac{i}{2}\sqrt{\frac{\Lambda}{3}}\gamma _\mu.$$

Теперь ясно, что если гравитино исчезает, то тетрады V не преобразуются, так что бозонная часть фона симметрична. Однако фермионная часть фона симметрична только при условии того что локальный параметр суперсимметрии является, как говорят, спинором Киллинга (по естественной аналогии с вектором Киллинга): Dμε = 0. Ясно, что, вообще говоря, только часть компонент спинора может удовлетворять такому условию (в случае многообразия Калаби-Яу с тремя комплексными измерениями — только одна спинорная компонента из четырех). Потому доля сохраняющихся суперсимметрий равна доле компонент спинорного параметра суперсимметрии, удовлетворяющих условию Киллинга. От этого условия можно перейти к следующему:

$$0=[\tilde D_\mu,\,\tilde D_\nu]\epsilon =\frac{1}{2}({\cal R}_{\mu\nu\rho\sigma}\sigma ^{\rho\sigma}-\frac{2}{3}\Lambda\sigma _{\mu\nu})\epsilon$$

(здесь введен следующий элемент «искривленной» алгебры Дирака $$\inline \sigma _{\mu\nu}=\frac{1}{2}\gamma _{[\mu}\gamma _{\nu]}$$).

Для максимально симметричного (то есть симметричного относительно группы с D(D+1)/2 параметрами) AdS имеет место

$${\cal R}_{\mu\nu\rho\sigma}=\frac{1}{R^2}(g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}).$$

Теперь самое время вспомнить, что в теории с данной космологической постоянной Λ решение AdS с радиусом R будет удовлетворять уравнениям Эйнштейна только при условии Λ = 3/R2. Однако при этом же условии легко заметить, что спинор ε удовлетворяет условию Киллинга (точнее его следствию с тензором криизны, которое является условием интегрируемости для уравнения Киллинга).

Как мы видим, пространство AdS сохраняет все суперсимметрии.

Далее, нас на самом деле интересует сколько суперсимметрий сохраняет пространство-время AdS5×S5, а не просто AdS. Здесь имеется нетривиальность по сравнению с обычным подсчетом суперсимметрий в компактифицированных теориях. Обычно, когда мы просто имеем прямое произведение некого компактного многообразия с нулевым потоком RR-полей через компактное многообразие, число сохраняемых суперсимметрий вычисяется с помощью подсчета числа спиноров Киллинга на компактном многообразии. Если применить наивно такой подход в данном случае, стартуя с D=10 гравитации с нулевой космологической постоянной (это тоже выводимое условие исходя из требования сохранения суперсимметрий), то получим, что все суперсимметрии нарушаются, ибо сфера имеет максимальную группу голономии SO(5), не оставляющую неподвижным ни один спинор (который бы таким образом генерировал бы ненарушенные суперсимметрии). Однако, такой подход в данном случае неприменим, ибо мы изначально предполагаем ненулевой поток. Обратите внимание, что выше мы тоже используем ковариантную производную $$\tilde D$$, а не $$D$$, т.е. принимающую во внимание ненулевую космологическую постоянную на уровне AdS. В D=10 космологическая постоянная равна нулю. Однако, мы производим не обычную компактификацию на сферу, а т.н. flux compactification (компактификацию с ненулевым потоком), в данном случае с ненулевым потоком F5 через сферу. Наличие этого потока модифицирует услвоие $$D\epsilon =0$$ на условие $$\tilde D\epsilon$$, модифицированное наличием ненулевого потока. На уровне AdS это условие выражается условием спинора Киллинга с ковариантной производной, постороенной уже с участием космологической постоянной.

Объединяя суперсимметрии с бозонными симметриями пространственно-временной конфигурации, получаем полную группу симметрий теории суперструн на AdS5×S5 являющуюся группой PSU(2, 2 | 4). В нее входят группа SU(2, 2) ~ SO(2, 4), являющаяся симметрией AdS5, группа SU(4) ~ SO(6), являющаяся симметрией S5, а также 32 киральных фермионных генератора IIB суперсимметрии, которые расширяют эти группы до полной супергруппы PSU(2, 2 | 4) и преобразуются под действием спинорных представлений бозонных подгрупп пространственно-временных симметрий.

Конформная теория поля

Теперь стоит вспомнить какую еще роль играют Dp-браны в теории суперструн. Собственно первичная цель их введения состояла в последовательном Пуанкаре-инвариантном способе описания открытых струн с граничными условиями Дирихле, т.е. с зафиксированными концами. Без бран, на которых струны могли бы оканчиваться, было бы совершенно непонятно, что держит их концы, и потому теория оказалось бы не Пуанкаре-инвариантной.

После введения Dp-бран возникает еще одна возможность. Если мы имеем стопку совпадающих друг с другом N Dp-бран, то для открытых струн, которые оканчиваются на бранах из такой стопки, необходимо ввести дополнительные степени свободы — заряды Чана-Патона на концах струны — которые будут обеспечивать описание симметрии по отношению к различным бранам из стопки. В результате спектр открытых суперструн на самом деле становится калибровочным супермультиплетом, ибо два конца струны вместе объединяются в присоединенное представление калибровочной группы U(N) (после введения ориентифолдной плоскости можно получить нужную для сокращения калибровочных аномалий группу SO(32)).

Таким образом теория N совпадающих Dp-бран (точнее теория мирового объема этих бран) есть по сути D = p + 1 U(N) калибровочная теория поля. В случае D3-бран это D = 4 теория супер-Янга-Миллса. Так как это конформная теория, то отсюда CFT часть в названии соответствия.

Следует прокомментировать суперсимметричность такой теории. Dp-браны сохраняют половину суперсимметрий теорий суперструн типа-II (и потому собственно говоря являются BPS-объектами в первую очередь, откуда уже для них следует равенсто RR заряда и массы — натяжения), то есть 16 суперсимметрий. Соответственно получаем в случае D3-бран $${\cal N}=4$$, D = 4 теорию SYM. Однако, будучи конформно-инвариантной теорией, она содержит еще генераторы специальных конформных преобразований, которые в замыкании с 16 суперсимметриями дают 16  дополнительных суперсимметрий. Полная алгебра симметрий есть PSU(2, 2 | 4).

Как мы видим, группы симметрий совпадают с обоих сторон соответствия.

Переход от четырехмерной конформной теории поля к суперструнам в пятимерном пространстве AdS

Следуя Малдасене («TASI lectures on AdS/CFT») проведем следующее простое рассуждение. Допустим, у нас есть четырехмерная конформная теория поля, CFT4. Например, максимально суперсимметричная теория $${\cal N}=4$$ супер-Янг-Миллса. Эта теория обладает группой конформных симметрий SO(2, 4), которая в частности содержит в качестве подгруппы 4d группу Пуанкаре. Поэтому, если теперь мы хотим найти дуальную теорию струн в неком пятимерном (на одно пространственное измерение больше — следуя идее голографии, или точнее — по той простой причине что в четырех измерениях теория струн имеет конформную аномалию, а введение компенсирующего поля Лиувилля может интерпретироваться как дополнительное измерение) пространстве-времени, то метрика в нем должна уважать в первую очередь эту самую 4d Пуанкаре-симметрию. Репараметризацией пятой координаты z можно записать ее как

$$ds^2=w(z)^2(dx_{1+3}^2+dz^2).$$

Наконец, эта метрика должна уважать симметрию скейлинга, тоже являющуюся подгруппой четырехмерной конформной группы: x → λx. Тогда получаем z → λz и необходимо w = R/z. В результате получаем метрику AdS5 в координатах Пуанкаре:

$$ds^2=R^2\frac{dx_{1+3}^2+dz^2}{z^2}.$$

Конкретные расчеты

Аргументы в пользу истинности соответствия, приведенные выше, не приводят сами по себе к конкретным возможностям для вычислений (проверяемых экспериментально — сравнением наблюдений с расчетами столкновений тяжелых ионов с помощью методов квантовой гравитации (!) в пятимерном пространстве-времени AdS5). Таковые возникают после установления соответствия между стат. суммой теории гравитации в AdS5 и конформной теорией поля CFT4. Об этом в следующий раз.

Ключевые слова: суперсимметрия, D браны, конформная теория поля, гравитация, AdS/CFT

Комментарии

#1. 5 апреля 2013 года, 07:49. Григорий Циперман пишет:
Господа,возможно вас заинтересует моя работа, которую я написал в 1979 году. Это моя дипломная работа, которую я выполнил, заканчивая Гомельский университет по специальности «Теоретическая физика».
Она называется «К вопросу о связи теории монополя Дирака с моделью релятивистской струны». Собственно о связи этих объектов в дипломе написано не много. По ходу исследования я заинтересовался феноменом квантования струны в 26-мерном пространстве. Как мне кажется (и не только мне) удалось определить причину этого феномена и показать при каких допущениях струна квантуется в 4-мерном пространстве.
К сожалению физиком мне стать не удалось. Время было такое…
Сейчас мой интерес к этой теме имеет характер чистого любопытства: я уже не понимаю, что у меня там написано)))
Если интересно, я готов передать работу. Она оформлена в формате Word.

С уважением,
Григорий Циперман
#2. 21 марта 2018 года, 01:39. Илья пишет:
интересно

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 39+6?