Заметки о теоретической физике → 2011 → 03 → 14
Роман Парпалак

Парадокс Фейнмана, или потоки энергии в постоянных электромагнитных полях

14 марта 2011 года, 18:13

Я предлагаю отдохнуть от актуальных проблем теоретической физики и заняться более приземленными вопросами классической электродинамики.

В фейнмановских лекциях по физике (выпуск 6, глава 17) есть описание следующего парадокса.

Представим, что мы конструируем прибор, в котором имеется тонкий круглый пластмассовый диск, укрепленный концентрически на оси с хорошими подшипниками, так что он совершенно свободно вращается. На диске имеется катушка из проволоки — короткий соленоид, концентричный по отношению к оси вращения. Через этот соленоид проходит постоянный ток I от маленькой батареи, также укрепленной на диске. Вблизи края диска по окружности на равном расстоянии размещены маленькие металлические шарики, изолированные друг от друга и от соленоида пластмассовым материалом диска. Каждый из этих проводящих шариков заряжен одинаковым зарядом Q. Вся картина стационарна, и диск неподвижен.

Предположим, что случайно, а может и намеренно, ток в соленоиде прекратился, но, разумеется, без какого-либо вмешательства извне. Пока через соленоид шел ток, более или менее параллельно оси диска проходил магнитный поток. После того как ток прервался, поток этот должен уменьшиться до нуля. Поэтому должно возникать индуцированное электрическое поле, которое будет циркулировать по окружностям с центром на оси диска. Заряженные шарики на периферии диска будут все испытывать действие электрического поля, касательного к внешней окружности диска. Эта электрическая сила направлена для всех зарядов одинаково и, следовательно, вызовет у диска вращающий момент. Из этих соображений можно ожидать, что, когда ток в соленоиде исчезнет, диск начнет вращаться. Если нам известны момент инерции диска, ток в соленоиде и заряд шариков, то можно вычислить результирующую угловую скорость.

Но можно рассуждать и по-другому. Используя закон сохранения момента количества движения, мы могли бы сказать, что момент диска со всеми его пристройками вначале равен нулю, поэтому момент всей системы должен оставаться нулевым. Никакого вращения при остановке тока быть не должно. Какое из доказательств правильно? Повернется ли диск или нет? Мы предлагаем вам подумать над этим вопросом.

Решение парадокса заключается в том, что в присутствии электрических и магнитных полей имеются потоки энергии, описываемые вектором Пойнтинга $$\vec{S} \sim \vec{E} \times \vec{B}$$. В предложенной Фейнманом конфигурации эти потоки замкнуты. Поскольку поток энергии однозначно связан с плотностью импульса, наличие замкнутых потоков энергии свидетельствует о присутствии ненулевого момента импульса. Таким образом, в системе изначально был запас момента импульса, который после исчезновения магнитного поля был передан диску.

Однако есть люди, которые убеждены в том, что выражение для вектора потока энергии через векторное произведение полей годится только для переменных электромагнитных полей (действительно, перенос энергии в этом случае можно увидеть непосредственно). Им не нравится, что, согласно выражению для вектора Пойнтинга, энергия течет от источника постоянного тока к нагрузке не «по проводам», а снаружи. Основной аргумент сводится к тому, что на поток энергии легко влияют манипуляции с проводом, наличие примесей, разрывов; в то время как никакими телами снаружи, например, дополнительными зарядами или магнитами, остановить поток энергии к нагрузке не удается.

Противники применения вектора Пойнтинга в статике придумывают в этом случае другие выражения для плотности энергии, например, $$\varphi \vec{j}$$. Но такое выражение тоже не лишено недостатков, приписываемых вектору Пойнтинга. Даже если отбросить требование единообразного описания явлений и попытаться применить для зарядов и катушки выражение $$\varphi \vec{j}$$, мы сразу столкнемся с тем, что потенциал φ в точках катушки (а, значит, и и момент импульса системы) легко изменить, поместив систему внутрь большого проводящего заряженного ящика и меняя его заряд. Это плохо согласуется с гипотезой, по которой энергия, как и ток, течет по катушке.

В связи с такой критикой вектора Пойнтинга можно заняться интересным упражнением — непосредственно вычислить момент импульса электромагнитного поля через вектор Пойнтинга и сравнить его с моментом импульса, передаваемым диску. Даже если критиков эти вычисления не убедят, мы еще раз увидим красоту теории.

Для упрощения вычислений изменим систему, предложенную Фейнманом. Будем рассматривать не заряды на краю диска, а равномерно заряженную сферу радиуса a, в центре которой находится небольшая катушка, обладающая магнитным моментом $$\vec{\mathfrak{m}}$$. Магнитный момент, находящийся в начале координат, создает в точке $$\vec{R}$$ векторный потенциал

(1)$$\vec{A} = {\vec{\mathfrak{m}} \times \vec{R} \over R^3}$$

и магнитное поле

$$\vec{H} = {3\vec{n}\,(\vec{\mathfrak{m}} \cdot \vec{n})-\vec{\mathfrak{m}} \over R^3}, \quad \vec{n} = {\vec{R}\over R}.$$

Вектор Поинтинга есть

$$\vec{S} = {c\over 4\pi}\vec{E}\times\vec{H}.$$

Он связан с плотностью импульса

$$\vec{P} = {\vec{S} \over c^2}.$$

Тогда, собирая вместе, получаем

$$\vec{P} = {1\over 4\pi c}{Q \over R^2} {1 \over R^3}\left[ \vec{n}\times \left(3\vec{n}\,(\vec{\mathfrak{m}} \cdot \vec{n}) -\vec{\mathfrak{m}} \right) \right] = {Q\over 4\pi c R^5}\left[\vec{\mathfrak{m}} \times \vec{n}\right].$$

Момент импульса

$$\vec{L}=\int\!\vec{R}\times\vec{P}\,dV=\int\! R\,{Q\over 4\pi c R^5}\,\vec{n}\times\left[\vec{\mathfrak{m}} \times \vec{n}\right]dV.$$

Введем сферические координаты так, что $$\vec{\mathfrak{m}}$$ направлен вдоль оси z, а угол θ есть угол между осью z и направлением $$\vec{R}$$. Тогда

(2)$$\vec{L}=\int\limits_a^{\infty}\!{Q\over 4\pi c R^4}R^2dR \int\!\vec{n}\times\left[\vec{\mathfrak{m}} \times \vec{n}\right]d(\cos \theta)\,d\varphi.$$

Первый интеграл берется элементарно. Второй есть усреднение двойного векторного произведения по всем направлениям $$\vec{n}$$, он кроме как от $$\vec{\mathfrak{m}}$$ ни от чего не зависит. Учитывая линейность интегрирования и векторного произведения, зависимость должна быть прямой пропорциональностью. Действительно, вычисления показывают, что второй интеграл равен

$$\vec{\mathfrak{m}}\int\!\sin^2\theta\,d(\cos \theta)\,d\varphi={8\pi\vec{\mathfrak{m}}\over 3}.$$

Окончательно получаем

$$\vec{L}={2\over 3}{Q\vec{\mathfrak{m}}\over ca}.$$

Теперь посмотрим, какой момент импульса будет передан сфере после исчезновения магнитного поля. Начнем с момента электрических сил

$$\vec{M}=\int\!\vec{R}\times\rho\vec{E}\,dV={Q\over 4\pi}\int\!\vec{R}\times\vec{E}\,d(\cos\theta)\,d\varphi.$$

Учитывая, что вихревое электрическое поле определяется формулой

$$\vec{E}=-{1\over c}{\partial \vec{A}\over\partial t},$$

для момента импульса имеем

$$\vec{L}=\int\!\vec{M}\,dt={Q\over 4\pi c}\int\!d(\cos\theta)\,d\varphi\,\vec{R}\times\!\int\!-{\partial \vec{A}\over\partial t}dt.$$

Векторный потенциал уменьшается от начального значения $$\vec{A}$$, задаваемого формулой (1), до нуля. Поэтому последний интеграл просто равен $$\vec{A}$$. Таким образом,

$$\vec{L}=\cfrac{Q}{4\pi c a}\int\!d(\cos\theta)\,d\varphi\,\vec{n}\times \left[\vec{\mathfrak{m}} \times \vec{n}\right].$$

Это выражение совпадает с (2).

Как и ожидалось, весь момент импульса, запасенный в постоянном электромагнитном поле, передается зарядам при исчезновении магнитного поля.

Ключевые слова: электродинамика

Комментарии

#1. 15 марта 2011 года, 13:47. Михаил Гойхман пишет:
Нда, забавно. Однако фраза «импульс электромагнитного поля» сама по себе всплывает в голове когда читаешь условие подобных задач :)
#2. 15 марта 2011 года, 14:20. пишет:
Это сейчас всплывают такие фразы. А когда я в школе читал фейнмановские лекции, не всплывало ничего :)

Еще забавно то, что у меня с тех времен сохранились черновики с этим упражнением. Куча листов, многие векторы расписаны в компонентах. А теперь всё умещается на странице :)
#3. 15 марта 2011 года, 16:16. Михаил Гойхман пишет:
:)
#4. 12 октября 2011 года, 03:19. Он пишет:
Задачу с полем вращающейся заряженной сферы можно и проще решить разбив ее на контуры с током. Решение в одну строку.
#5. 12 октября 2011 года, 12:53. пишет:
Во-первых, магнитное поле вращающейся сферы вычислялось не в этом посте (оно здесь не используется), а в следующем:
http://susy.written.ru/2011/03/16/On_the_s … tron_model

Во-вторых, эту вашу одну строку можно было легко написать в комментарии.
#6. 12 октября 2011 года, 20:16. Он пишет:
Рассмотрим вращающуюся заряженную сферу на расстоянии r >> R, R-радиус сферы. Разделим ее на кольца, плоскость которых перпендикулярна оси вращения сферы. Из центра сферы каждое такое кольцо будет видно под телесным углом dф. Площадь кольца dS=(2piR^2)cosфdф, заряд dq=ds(Q/4piR^2)=(Q/2)cosфdф, ток в кольце dI=dq/(2pi/w)=(wQ/4pi)cosфdф, w-частота вращения сферы. Магнитный момент кольца dm=dI*pi(Rcosф)^2=(wQR^2/4)(cosф^3)dф. Дальше интегрируем в пределах -pi/2 до pi/2. Косинус куб замечательно интегрируется (cosф^3)dф -> (1-(sinф)^2)d(sinф). Ответ отличается от вашего только на множитель (1/с),c — скорость света, списываю это на систему единиц.
Смею заметить, что хотя в моем решении я рассматриваю сферу на удалении, тем не менее Ваша модель при внимательном рассматреннии так же использует это условие неявно, так как вы утверждаете, что поле сферы вне сферы совпадает с полем магнитного диполя, который по сути является лишь математической абстракцией (пока магнитные монополи и монополи не обнаружены). В любой реальной физической проблеме магнитный момент создается витком с током конечных размеров (кстати, тоже один из подходов для оценки как бы скорости вращения электрона). А на расстояниях от витка с током порядка размеров этого витка с током ближнее поле выглядит совсем не так просто, как в дальней зоне. Вылазят эллиптические интегралы и решение в closed form не получается. Для строгости я бы к вашему решению в конце добавил следующее: «поле вне вращающейся сферы совпадает с полем магнитного диполя на значительном расстоянии от диполя».
И хотя мое решение вроде не умещается в одну строку, но части с пояснением о r>>R, с переходами от зарядов к токам, интегрированием и пояснением значения переменных я бы опустил и при желании впихнул бы все в одну строчку в лучших традициях ландафшица)). Пока размышлял над этой задачкой задумался о магнитных полях рамок с током на сфере как об ортогональных функциях (почти как Фурье, но надо чуть-чуть подумать и ортогонализировать), и, соответственно, разложении магнитного поля произвольной конфигурации по магнитным полям рамок с током на сфере, где соответствующими коэффициентами разложения были бы плотности токов.
Кстати, могли бы Вы «поспикулировать» на тему магнитных монополей. Вмещаются ли они в МССМ, стоит ли ждать их обнаружения вообще? Тот же Паули кажется очень их любил... монополи...
По невнимательности написал первое сообщение в эту тему т.к. почему-то сфера и парадокс открылись на одной странице и я оставил коментарий под последней.
#7. 12 октября 2011 года, 22:16. пишет:
Идея ваших вычислений, конечно, правильная.

Но дело в том, что под словами «магнитное поле равномерно заряженной сферы... точно совпадает с полем магнитного диполя» я имел в виду, что это поле точно описывается в каждой точке вне сферы формулой из учебников (хотя обычно, как вы правильно заметили, эта формула дает правильный ответ далеко от витка с током). Иначе говоря, в моем выводе нет предположений о том, что r >> R.
#8. 13 сентября 2014 года, 10:57. Илья пишет:
Можно бесконечно раскручивать диск следующим образом.
Заряжаем «шарики», подаем питание на катушку — создаем магнитное поле. Затем после раскручивания разряжаем шарики и отключаем питание катушки. Цикл повторяем сколько угодно раз.
Единственный способ оставить противоположный заряд на диске после заряда шариков так чтобы он не создавал противодействия — это поместить его в центр внутри катушки.
Весь вопрос в том, будет ли диск останавливаться при замыкании этих зарядов (для снятия заряда с шариков) и протекании тока по проводнику, перпендикулярно магнитному полю.
Что если сделать этот проводник в виде плоской спиральной катушки на поверхности диска, магнитно взаимодействующей с основной катушкой. Выбирая направление обмотки и момент замыкания шариков на вторую катушку, можно решить будет ли разделение и замыкание зарядов происходить до или после смены полярности питания основной катушки, избежав таким образом противоположного вращения.
#9. 13 сентября 2014 года, 17:54. пишет:
Из закона сохранения момента импульса явно следует, что если система вернулась к прежнему состоянию (после возвращения зарядов на место), то она будет покоиться или вращаться с той же скоростью, что и в начальном состоянии.

Если вдаваться в детали, то выяснится, что на движущиеся заряды в магнитном поле действуют силы Лоренца, которые будут разгонять или тормозить диск, из-за этого его не получится бесконечно раскручивать.
#10. 15 февраля 2017 года, 09:15. Вячеслав пишет:
Разрешение парадокса в области сохранения момента импульса, порождает новый парадокс, уже в области сохранения энергии.
Дело в том что заряженная сфера вокруг магнитного диполя при раскручивании приобретает кинетическую энергию, которая не может быть больше энергии магнитного поля диполя. Однако уменьшая массу сферы в n раз, при том же приобретенном моменте мы увеличиваем полученную кинетическую энергию в n раз. Так можно сделать ее сколь угодно большой! Правда мы не можем уменьшать массу беспредельно, когда-то она упрется в отношение заряда электрона к его массе, а ведь электроны еще чем то держать надо на сфере.
Тогда поступим так: пусть на сфере равномерно распределены массивные заряды, при размагничивании диполя они приобретают какую то суммарную энергию. Удвоим количество зарядов на сфере — масса и заряд удвоятся — тангенциальная скорость после раскручивания останется прежней — значит энергия удвоится. Очевидно количество полученной энергии определяется лишь способностью сферы удержать эти заряды.
#11. 15 февраля 2017 года, 23:19. пишет:
Вячеслав, вы задали очень интересный вопрос.

На самом деле новый парадокс не порождается. Ваше предположение «уменьшая массу сферы в n раз, при том же приобретенном моменте мы увеличиваем полученную кинетическую энергию в n раз» верно только в нерелятивистском случае. Устремляя массу к нулю, вы как раз переходите к ультрарелятивистскому пределу.

Напомню, что в общей теории относительности полная энергия частицы $$E^2=p^2c^2+m^2c^4$$. В ультрарелятивистском пределе $$p\gg mc$$, и тогда кинетическая энергия $$T\sim E\sim pc$$. Иными словами, имея запас импульса $$p$$, мы не сможем передать покоящемуся телу сколь угодно большую энергию, как это следовало бы из классической формулы $$T=p^2/2m$$.

В случае вращения сферы механика сложнее, но идея та же: с учетом теории относительности для фиксированного запаса момента импульса $$M$$ есть предел на передаваемую сфере энергию.

В электромагнитном поле будет запасено достаточное количество энергии, чтобы парадокс не возник. Более того, моя физическая интуиция подсказывает, что предельная передаваемая энергия с учетом поправки на сферичность должна совпадать с запасенной энергией.
#12. 18 февраля 2017 года, 12:05. пишет:
Похоже, интуиция меня подвела, и тут важны не только релятивистские эффекты. На самом деле предположение «уменьшая массу сферы в n раз, при том же приобретенном моменте мы увеличиваем полученную кинетическую энергию в n раз» ошибочно и по другой причине.

Вращающаяся заряженная сфера запасает момент импульса не только в механическом движении, но и в электромагнитном поле. Это я подробно разобрал в следующем посте: https://susy.written.ru/2011/03/16/On_the_ … tron_model

Можно вычислить, что поправка к моменту инерции составляет $$\inline{2\over 9c^2}Q^2a$$. Если устремить массу сферы к 0, ее скорость вращения останется конечной, а приобретенный момент импульса целиком будет электромагнитным. При любых значениях параметров энергии магнитного поля диполя достаточно, чтобы раскрутить сферу.
#13. 20 февраля 2017 года, 12:08. Вячеслав пишет:
Однако при внимательном рассмотрении задачи парадокс все же не исчезает.

Основная идея эксперимента остается — магнитный диполь окружен заряженной сферой. При размагничивании диполя скрытый электромагнитный момент превращается в механический момент и приводит к раскрутке заряженной сферы. Кроме того, как отмечено выше, какая то часть исходной энергии магнитного поля превратилась в механическую энергию.

Теперь самое интересное — разместим между диполем и заряженной сферой еще одну сферу — незаряженную, но проводящую. Поскольку она незаряженная, приобрести момент импульса при размагничивании диполя, она не может, но часть энергии электромагнитного поля за счет токов Фуко, поглотит. Фактически мы можем полностью поглотить электромагнитную энергию, излученную диполем.
Откуда же берется энергия для раскрутки заряженной сферы? (скорость ее вращения не изменится при введении дополнительных незаряженных сфер, поскольку должен сохраниться момент импульса)

Предвижу ответ: Энергия полей, расположенных снаружи заряженной сферы полностью преобразуется в механическую энергию вращающейся сферы (и/или в энергию полей этой сферы), а энергия изнутри незаряженных сфер в энергию токов Фуко.

Тогда вместо диполя возьмем бесконечный соленоид, вставленный сначала в проводящий цилиндр, затем в заряженный. Никакого магнитного поля снаружи соленоида нет, однако рассуждения аналогичные случаю с диполем также приводят к парадоксу.
#14. 20 февраля 2017 года, 15:38. Роман Парпалак пишет:
Вячеслав, вы сами и ответили на свой вопрос :)

Я даже могу рассказать в деталях, что произойдет с магнитной энергией диполя внутри проводящей сферы.

Предположим, что магнитный момент диполя исчез скачком (по крайней мере, за время, гораздо меньшее затухания токов в проводящей сфере — у нас очень хороший проводник). Поскольку поток магнитного поля через контур, охватываемый проводником, не может мгновенно измениться, по поверхности сферы начнут бежать токи Фуко ровно такой величины, чтобы магнитное поле снаружи сферы не изменилось.

На этом этапе часть энергии выделится в магнитном монополе в виде тепла. Остальная часть энергии перейдет в магнитное поле, создаваемое токами Фуко.

Далее токи Фуко затухают, часть энергии переходит в тепло, оставшаяся часть — в кинетическую энергию и в магнитное поле вращающейся заряженной сферы.

Ваш пример с бесконечным соленоидом внутри бесконечного заряженного цилиндра не имеет отношения к задаче, потому что магнитное поле находится целиком внутри соленоида, а электрическое поле — снаружи цилиндра. Они не пересекаются. И я бы опасался привлекать бесконечные конфигурации источников полей: они обладают бесконечной энергией, и из них легко получить некорректные выводы.

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 54+3?