Заметки о теоретической физике → 2011 → 03
Роман Парпалак

Гравитация в пространстве (2+1)

2 марта 2011 года, 23:21

Мы рассмотрим некоторые особенности гравитации в трехмерном пространстве-времени (две пространственных координаты плюс время). Оказывается, такое пространство в присутствии масс локально не искривляется, однако в нем появляются глобальные топологические эффекты. Например, длина окружности, охватывающей материальную точку, меньше, чем 2πR.

Тензор Римана в (2+1)

Как известно, тензор Римана обладает следующими симметриями:

$$R_{abcd}=R_{cdab},\quad R_{abcd}=-R_{bacd}=-R_{abdc},$$

где каждый индекс пробегает значения 0, 1, 2. Непосредственным перебором легко проверить, что у тензора Римана остается 6 независимых ненулевых компонент: R0101, R0112, R0120, R1212, R1220, R2020. Число независимых компонент тензора Риччи тоже 6. Оказывается, в трехмерном пространстве-времени тензор Римана можно выразить через тензор Риччи:

$$R_{abcd}=g_{ac}Q_{bd} + g_{bd}Q_{ac}-g_{ad}Q_{bc}-g_{bc}Q_{ad},$$(1)

где QabRab − ¼gabR, RRaa.

Точечная масса

Вычислим статическую аксиально-симметричную метрику в присутствии точечной массы. Как обычно, начинаем с уравнений Эйнштейна

$$R_{ab} -{R \over 2} g_{ab} = {8 \pi G \over c^4} T_{ab}.$$

Взяв след обеих частей, получаем

$$R = -{16 \pi G \over c^4} T.$$(2)

В пустом пространстве вокруг тела Tab ≡ 0, следовательно, из (2), уравнения Эйнштейна и (1) получаем R ≡ 0, Rab ≡ 0, Rabcd ≡ 0. Таким образом, пустое пространство (2+1) должно быть локально плоским. Это, в частности, означает, что в рассматриваемом случае нет гравитационных волн.

$$\begin{tikzpicture}[line width=0.21mm,scale=1.0545] \def\re{1.2} \def\rta{0.32} \def\rtb{0.5} \def\a{310} \def\b{110} \def\c{1} \def\d{0.3} \def\lx{0.6} \def\ly{3.8} \draw (0,0) -- (\re,0) arc (0:\a:\re) -- cycle; \draw[->,very thin] (\rta,0) arc (0:\a:\rta) node[pos=0.83,below] {$2\pi\alpha$}; \draw[->,very thin] (0,0) -- (\b:\re) (\rtb,0) arc (0:\b:\rtb) node[pos=0.75,above] {$\varphi'$}; \draw[] (\lx,-\ly) arc (-105:105:0.3 and \c) -- +(-1.4,-\c) -- cycle; \draw[thin,dashed] (\lx,-\ly) arc (255:105:0.3 and \c); \end{tikzpicture}$$

Метрика такого пространства с учетом симметрий имеет следующий вид:

$$ds^2=-c^2dt^2+d\rho^2+\alpha^2\rho^2d\varphi^2,$$

где $$\alpha^2$$ — некоторая константа, а φ меняется от 0 до 2π. Введем новую угловую координату φ′ = αφ. Константа α и будет определять глобальные гравитационные эффекты. Заглядывая вперед, скажем, что α < 1. Таким образом, длина окружности, охватывающей точечную массу, будет меньше, чем 2πR.

Время входит в интервал с постоянным коэффициентом и не смешивается с другими координатами, поэтому скаляр кривизны R определяется только пространственной частью метрики.

Конический дефект

Двумерное пространство, описываемое такой метрикой, соответствует конической поверхности. В каждой точке поверхности, за исключением вершины, тензор Риччи равен нулю. В вершине имеется расходимость, связанная с расходимостью плотности энергии точечного тела.

Обычно связь между массой (которая пропорциональна коэффициенту в кривизне, задаваемой дельта-функцией) и величиной дефекта α определяется через эйлерову характеристику поверхности (которая равна сумме интеграла от кривизны по поверхности и интеграла от «внешней кривизны» границы по самой границе). Мы же пойдем более наглядным и методически более простым путем, «размывая» точечную массу.

$$\begin{tikzpicture}[line width=0.21mm,scale=1.0545] \def\c{1} \def\cc{0.5} \def\beta{6} \def\g{18} \draw (0,0) arc (-90-\beta:90+\beta:0.2 and \c) -- +(-1,-\c+\cc) arc (90+\beta:-90-\beta:0.1 and \cc) -- cycle; \draw[thin,dashed] (0,0) arc (270-\beta:90+\beta:0.2 and \c) ++(-1,-\c+\cc) arc (90+\beta:270-\beta:0.1 and \cc); \draw (-1,\c+0.489) arc (90+\g:270-\g:0.3 and 0.523); \end{tikzpicture}$$

Можно было бы рассмотреть некоторое распределение массы в ограниченной области и выяснить, как будет меняться α, когда размер области стремится к нулю. Однако мы будем действовать противоположным образом, что избавит нас от необходимости решать уравнения Эйнштейна. Деформируем коническую поверхность, «сгладив» вершину в сферический сегмент радиуса r, и выясним, какому распределению масс соответствует такое пространство.

Известно, что скаляр кривизны двумерной поверхности равен удвоенной гауссовой кривизне:

$$R = {2 K} = {2 \over r_1r_2},$$

где r1 и r2 — главные радиусы кривизны поверхности. Для сферической поверхности радиуса r скаляр кривизны R = 2/r2.

$$\begin{tikzpicture}[line width=0.4mm,scale=1.0545]\small \def\r{1.8} \coordinate[label=above left:$A$] (A) at (-0.5*\r,0.866*\r); \coordinate[label=below:$B$] (B) at (-0.5*\r,0); \coordinate[label=below left:$C$] (C1) at (-\r,0); \coordinate[label=below:$O$] (O) at (0,0); \coordinate[label=below:$P$] (P) at (-2*\r,0); \coordinate (A3) at (0,1.333*0.866*\r); \draw[thin] (0,\r) arc (90:120:\r) -- node[above] {$\rho$} (P) -- node[pos=0.625,above] {$h$} node[pos=0.19,above,inner sep=1] {$\beta$} (O) -- node[right] {$r$} (A) |- (B); \draw[] (A3) -- (A) arc (120:190:\r); \draw[line width=0.21mm,opacity=0] (-2*\r-0.2,-0.4) rectangle (0.2,2.1) \end{tikzpicture}$$

Установим некоторые геометрические соотношения. Длина окружности в основании конуса равна $$2\pi|AB|=2\pi\rho\sin\beta$$, длина той же линии на развертке конуса равна $$2\pi\alpha|AP|=2\pi\alpha\rho$$, откуда $$\alpha=\sin\beta$$. Тогда площадь $$S=2\pi r\cdot |BC|$$ сферического сегмента высоты $$|BC|=h=r(1-\sin\beta)$$ выражается как $$2\pi r^2(1-\alpha)$$.

Проинтегрируем (2):

$$\int T \sqrt{-g}\, d^2x =- {c^4 \over 16\pi G}\int R \sqrt{-g}\, d^2 x=-{c^4 \over 16\pi G}RS = -{c^4 \over 4G} (1- \alpha).$$

Учитывая аддитивность массы (отсутствие гравитационного дефекта массы следует из того, что тензор Римана в пустом пространстве нулевой и пространство локально галилеево; мы обсудим это ниже), получаем

$$mc^2 =\int {T_{00}} \sqrt{-g}\, d^2x=-\int T \sqrt{-g}\, d^2x={c^4 \over 4G} (1-\alpha) ,$$

$$\alpha =1-{4Gm \over c^2}.$$

Интеграл от скаляра кривизны по поверхности не зависит от размера области «сглаживания», поэтому полученный результат справедлив и для точечной массы, когда r → 0. Как видим, для обычных тел с положительной массой α < 1. Видно также, что масса рассматриваемого тела не может превышать величину c2/4G.

Геодезические

$$ \begin{tikzpicture}[line width=0.21mm,scale=1.0545] \def\re{1.4} \def\ri{0.7} \def\ll{1.3} \def\l{0.7} \def\a{310} \def\x{118} \draw (0,0) -- (\re,0) arc (0:\a:\re) -- cycle; \draw (0:\ri) -- +(\x:\ll) (\a:\ri) -- +(180+\x+\a:\l); \end{tikzpicture} $$

Решая систему уравнений для геодезических

$$\frac{d^2x^\lambda }{d s^2} + \Gamma^{\lambda}_{~\mu \nu }\frac{dx^\mu }{d s}\frac{dx^\nu }{d s} = 0,$$

которая в наших координатах принимает вид

$$\left\{ \begin{array}{l}\ddot{\varphi} + \dfrac{2}{r}\dot{r}\dot{\varphi}=0, \\ \ddot{r}-r\dot{\varphi}^2\alpha^2=0, \\ \end{array} \right. $$

легко убедиться в том, что геодезические для пространства с точечной массой — это прямые $$r\sim 1/\sin(\alpha\varphi)$$ на развертке конуса.

Можно спроецировать геодезические на плоскость, перпендикулярную оси конуса. Тогда получится, что точечная масса «искривляет» пространство, или «отклоняет» движущиеся частицы. Однако легко видеть, что угол «отклонения» не зависит от прицельного параметра. Таким образом, уравнения Эйнштейна в (2+1) не содержат ньютоновское тяготение как предельный случай.

Более того, как показывает изучение геодезических, в определенном смысле гравитационное взаимодействие в (2+1) отсутствует. Как видно из вышеприведенной системы, для любых r0 и φ0 «кривая» покоя r = r0, φ = φ0 является геодезической. В обычном четырехмерном случае это не так. Например, для шварцшильдовского решения не существует такой системы координат, в которой тело в любой точке оставалось бы в покое.

Обобщения

Мы убедились в том, что точечной массе в трехмерном пространстве-времени соответствует плоскость с вырезанным углом (в вершине которого сама материальная точка) и отождествленными точками на противоположных сторонах разреза. Подобная картина характерна и для нескольких точек. С каждым телом связан вырезанный угол, величина которого пропорциональна массе тела. Сумма масс всех тел также не может превышать c2/4G.

Помимо бесконечной двумерной поверхности, можно представить еще и замкнутую поверхность, топологически эквивалентную сфере. Очевидно, масса такой замкнутой Вселенной есть c2/2G. Сфера будет реализовываться в случае равномерного распределения вещества. Дискретные массы будут образовывать многогранники. Например, восемь одинаковых материальных точек могут дать куб.

Ключевые слова: гравитация | Комментарии (8)
Роман Парпалак

Ультрабуст в пространстве (2+1)

6 марта 2011 года, 10:34

В прошлый раз, говоря о (2+1)-мерной гравитации, мы нашли метрику точечной массы:

$$ds^2=-c^2dt^2+d\rho^2+\alpha^2\rho^2d\varphi^2,\quad\alpha=1-4Gm/c^2.$$(1)

Теперь попробуем вывести метрику ультрарелятивистской частицы, пролетающей мимо наблюдателя с околосветовой скоростью. Сначала мы найдем метрику движущейся материальной мочки, а затем применим операцию, называемую ультрабустом. Она заключается в одновременном устремлении скорости частицы к скорости света и массы к нулю, чтобы энергия оставалась конечной.

Лоренцев буст

Временно будем считать, что скорость света с = 1.

Для плоской метрики пространства Минковского переход в другую ИСО выполняется при помощи матрицы Лоренца Λ (такое преобразование оставляет метрику инвариантной):

$$g(v)=\Lambda^Tg\Lambda.$$(2)

Эту формулу можно применять не только к плоскому пространству, но и, например, к решению Шварцшильда. Действительно, метрика Шварцшильда асимптотически плоская, поэтому, формально проделав над ней такое преобразование, мы получим на бесконечности преобразования Лоренца из СТО. Следовательно, (2) описывает переход из системы отсчета покоя в систему, движущуюся относительно тела с постоянной скоростью.

Однако метрика (1) не является асимптотически плоской, поэтому обоснование возможности применить (2) в случае пространства (2+1) сложнее.

Для начала заменим переменные:

$$\left\{ \begin{array}{rl} x\!\!\!\!&=r\cos\varphi,\\ y\!\!\!\!&=r\sin\varphi,\\ \varepsilon\!\!\!\!&=1-\alpha^2. \end{array} $$(3)

В этих обозначениях метрика (1) принимает вид

$$g=\left[ \begin{array}{ccc} -1&0&0 \\ 0&1-{\dfrac {\varepsilon\,{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}}&{\dfrac {\varepsilon\,xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}} \\ 0&{\dfrac {\varepsilon\,xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}&1-{\dfrac {\varepsilon\,{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}} \end{array} \right] .$$

Отсюда и из (1) видно, что ε → 0, когда → 0. Когда мы уменьшаем массу точки до нуля, пространство переходит в плоское. Результат цепочки преобразований: уменьшение массы до нуля — лоренцев буст — увеличение массы до первоначального значения совпадет с результатом от простого применения формулы (2). Этим и обосновывается возможность ее применения.

Матрица Лоренца есть

$$\Lambda=\left[ \begin {array}{ccc} {\cfrac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}&-{\cfrac {v}{\sqrt {1-v^{2}}}}&0 \\ -{\cfrac{v}{\sqrt {1-{v}^{2}}}}&{\cfrac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}&0 \\ 0&0&1\end {array} \right] .$$

Несложные, но объемные вычисления, которые лучше всего поручить компьютеру, дают

$$\Lambda^Tg\Lambda=\left[\begin{array}{ccc} -1-{v^2\over 1-v^2}{\varepsilon y^2\over x^2+y^2}&{v\over 1-v^2}{\varepsilon y^2\over x^2+y^2}&-{v\over\sqrt{1-v^2}}{\varepsilon xy \over x^2+y^2}}\\ \noalign{\medskip}{v\over 1-v^2}{\varepsilon y^2\over x^2+y^2}&1-{1\over 1-v^2}{\varepsilon y^2\over x^2+y^2}&{1\over\sqrt{1-v^2}}{\varepsilon xy \over x^2+y^2}}\\ \noalign{\medskip}-{v\over\sqrt{1-v^2}}{\varepsilon xy \over x^2+y^2}}&{1\over\sqrt{1-v^2}}{\varepsilon xy \over x^2+y^2}}&1-{\varepsilon x^2 \over x^2+y^2}\end {array}\right].$$

В этом выражении x — координата в сопутствующей системе отсчета. Она связана с координатой x1 в нашей системе отсчета преобразованием Лоренца

$$x = {x_1-vt \over \sqrt{1-v^2}}.$$

Подставим ее в предыдущее выражение и получим

$$g(v)=\left[\begin{array}{ccc}-1-{v^2\varepsilon y^2\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}&{v\varepsilon y^2\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left( 1-v^2 \right)}&-{v\varepsilon\left(x_1-vt\right)y\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}\\ \noalign{\medskip}{v\varepsilon y^2\over \left(x_1-vt\right)^2+y^2\left( 1-v^2 \right)}&1-{\varepsilon y^2\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}&{\varepsilon\left( x_1-vt\right)y\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}\\ \noalign{\medskip}-{v\varepsilon\left( x_1-vt \right) y\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}&{\varepsilon\left(x_1-vt\right)y\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}&1-{\varepsilon\left(x_1-vt\right)^2\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}\end{array}\right].$$

Ультрабуст

Используем результат, полученный выше, для вывода метрики материальной точки с нулевой массой, движущейся со скоростью света.

Будем переходить к пределу  c, → 0 таким образом, чтобы энергия

$$E={mc^2 \over \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$$

материальной точки оставалась конечной. С учетом (1) и (3) легко найти, что

$$\varepsilon={8GE \over {c^4}}\sqrt {1-\dfrac{v^2}{c^2}}-{16G^2E^2 \over c^8}\left( {1-\dfrac{v^2}{c^2}} \right).$$

Кроме того, нам понадобится известное соотношение

$$\lim \limits_{a\to +0} \dfrac{a}{z^2+a^2}=\pi \delta (z).$$

В конечном итоге мы получим

$$g(c ) =\left[\begin{array}{ccc} {-c^2-\dfrac{8\pi G}{c^2}E\left| y \right|\delta \left( {x_1 -ct} \right)}& {\dfrac{8\pi G}{c^3}E\left| y \right|\delta \left( {x_1 -ct} \right)}& 0\\{\dfrac{8\pi G}{c^3}E\left| y \right|\delta \left( {x_1 -ct} \right)}& {1-\dfrac{8\pi G}{c^4}E\left| y \right|\delta \left( {x_1 -ct} \right)}& 0 \\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right] .$$

В переменных u = x1 − ct, x1 + ct интервал принимает вид

$$ds^2=-du\,dv+dy^2-\dfrac{8\pi G}{c^4}E\,\delta (u) \left| y \right|du^2.$$

Полезно сравнить этот ответ с ультрабустом в (3+1) [1]:

$$ds^2=-du\,dv+dr^2+r^2 d\theta ^2-8GE\,\delta (u) \ln r du^2.$$

Результаты отличаются функцией от перпендикулярного расстояния, входящей в коэффициент перед du2. В двумерном случае это линейная функция, а в трехмерном — логарифм. Эти функции являются функциями Грина уравнения Лапласа размерности на 2 меньше, чем размерность соответствующего пространства-времени. Как видим, результаты получились похожими.

Ссылки

[1] P. C. Aichelburg, R. U. Sexl (Vienna U.). «On the Gravitational field of a massless particle». May 1970. Published in Gen.Rel.Grav.2:303-312,1971.

[2] S. Deser, Alan R. Steif (Brandeis U.). «Gravity theories with lightlike sources in D = 3.» Published in Class.Quant.Grav.9:L153-L160,1992.

Ключевые слова: гравитация | Комментарии (9)
Роман Парпалак

Парадокс Фейнмана, или потоки энергии в постоянных электромагнитных полях

14 марта 2011 года, 18:13

Я предлагаю отдохнуть от актуальных проблем теоретической физики и заняться более приземленными вопросами классической электродинамики.

В фейнмановских лекциях по физике (выпуск 6, глава 17) есть описание следующего парадокса.

Представим, что мы конструируем прибор, в котором имеется тонкий круглый пластмассовый диск, укрепленный концентрически на оси с хорошими подшипниками, так что он совершенно свободно вращается. На диске имеется катушка из проволоки — короткий соленоид, концентричный по отношению к оси вращения. Через этот соленоид проходит постоянный ток I от маленькой батареи, также укрепленной на диске. Вблизи края диска по окружности на равном расстоянии размещены маленькие металлические шарики, изолированные друг от друга и от соленоида пластмассовым материалом диска. Каждый из этих проводящих шариков заряжен одинаковым зарядом Q. Вся картина стационарна, и диск неподвижен.

Предположим, что случайно, а может и намеренно, ток в соленоиде прекратился, но, разумеется, без какого-либо вмешательства извне. Пока через соленоид шел ток, более или менее параллельно оси диска проходил магнитный поток. После того как ток прервался, поток этот должен уменьшиться до нуля. Поэтому должно возникать индуцированное электрическое поле, которое будет циркулировать по окружностям с центром на оси диска. Заряженные шарики на периферии диска будут все испытывать действие электрического поля, касательного к внешней окружности диска. Эта электрическая сила направлена для всех зарядов одинаково и, следовательно, вызовет у диска вращающий момент. Из этих соображений можно ожидать, что, когда ток в соленоиде исчезнет, диск начнет вращаться. Если нам известны момент инерции диска, ток в соленоиде и заряд шариков, то можно вычислить результирующую угловую скорость.

Но можно рассуждать и по-другому. Используя закон сохранения момента количества движения, мы могли бы сказать, что момент диска со всеми его пристройками вначале равен нулю, поэтому момент всей системы должен оставаться нулевым. Никакого вращения при остановке тока быть не должно. Какое из доказательств правильно? Повернется ли диск или нет? Мы предлагаем вам подумать над этим вопросом.

Решение парадокса заключается в том, что в присутствии электрических и магнитных полей имеются потоки энергии, описываемые вектором Пойнтинга $$\vec{S} \sim \vec{E} \times \vec{B}$$. В предложенной Фейнманом конфигурации эти потоки замкнуты. Поскольку поток энергии однозначно связан с плотностью импульса, наличие замкнутых потоков энергии свидетельствует о присутствии ненулевого момента импульса. Таким образом, в системе изначально был запас момента импульса, который после исчезновения магнитного поля был передан диску.

Однако есть люди, которые убеждены в том, что выражение для вектора потока энергии через векторное произведение полей годится только для переменных электромагнитных полей (действительно, перенос энергии в этом случае можно увидеть непосредственно). Им не нравится, что, согласно выражению для вектора Пойнтинга, энергия течет от источника постоянного тока к нагрузке не «по проводам», а снаружи. Основной аргумент сводится к тому, что на поток энергии легко влияют манипуляции с проводом, наличие примесей, разрывов; в то время как никакими телами снаружи, например, дополнительными зарядами или магнитами, остановить поток энергии к нагрузке не удается.

Противники применения вектора Пойнтинга в статике придумывают в этом случае другие выражения для плотности энергии, например, $$\varphi \vec{j}$$. Но такое выражение тоже не лишено недостатков, приписываемых вектору Пойнтинга. Даже если отбросить требование единообразного описания явлений и попытаться применить для зарядов и катушки выражение $$\varphi \vec{j}$$, мы сразу столкнемся с тем, что потенциал φ в точках катушки (а, значит, и и момент импульса системы) легко изменить, поместив систему внутрь большого проводящего заряженного ящика и меняя его заряд. Это плохо согласуется с гипотезой, по которой энергия, как и ток, течет по катушке.

В связи с такой критикой вектора Пойнтинга можно заняться интересным упражнением — непосредственно вычислить момент импульса электромагнитного поля через вектор Пойнтинга и сравнить его с моментом импульса, передаваемым диску. Даже если критиков эти вычисления не убедят, мы еще раз увидим красоту теории.

Для упрощения вычислений изменим систему, предложенную Фейнманом. Будем рассматривать не заряды на краю диска, а равномерно заряженную сферу радиуса a, в центре которой находится небольшая катушка, обладающая магнитным моментом $$\vec{\mathfrak{m}}$$. Магнитный момент, находящийся в начале координат, создает в точке $$\vec{R}$$ векторный потенциал

(1)$$\vec{A} = {\vec{\mathfrak{m}} \times \vec{R} \over R^3}$$

и магнитное поле

$$\vec{H} = {3\vec{n}\,(\vec{\mathfrak{m}} \cdot \vec{n})-\vec{\mathfrak{m}} \over R^3}, \quad \vec{n} = {\vec{R}\over R}.$$

Вектор Поинтинга есть

$$\vec{S} = {c\over 4\pi}\vec{E}\times\vec{H}.$$

Он связан с плотностью импульса

$$\vec{P} = {\vec{S} \over c^2}.$$

Тогда, собирая вместе, получаем

$$\vec{P} = {1\over 4\pi c}{Q \over R^2} {1 \over R^3}\left[ \vec{n}\times \left(3\vec{n}\,(\vec{\mathfrak{m}} \cdot \vec{n}) -\vec{\mathfrak{m}} \right) \right] = {Q\over 4\pi c R^5}\left[\vec{\mathfrak{m}} \times \vec{n}\right].$$

Момент импульса

$$\vec{L}=\int\!\vec{R}\times\vec{P}\,dV=\int\! R\,{Q\over 4\pi c R^5}\,\vec{n}\times\left[\vec{\mathfrak{m}} \times \vec{n}\right]dV.$$

Введем сферические координаты так, что $$\vec{\mathfrak{m}}$$ направлен вдоль оси z, а угол θ есть угол между осью z и направлением $$\vec{R}$$. Тогда

(2)$$\vec{L}=\int\limits_a^{\infty}\!{Q\over 4\pi c R^4}R^2dR \int\!\vec{n}\times\left[\vec{\mathfrak{m}} \times \vec{n}\right]d(\cos \theta)\,d\varphi.$$

Первый интеграл берется элементарно. Второй есть усреднение двойного векторного произведения по всем направлениям $$\vec{n}$$, он кроме как от $$\vec{\mathfrak{m}}$$ ни от чего не зависит. Учитывая линейность интегрирования и векторного произведения, зависимость должна быть прямой пропорциональностью. Действительно, вычисления показывают, что второй интеграл равен

$$\vec{\mathfrak{m}}\int\!\sin^2\theta\,d(\cos \theta)\,d\varphi={8\pi\vec{\mathfrak{m}}\over 3}.$$

Окончательно получаем

$$\vec{L}={2\over 3}{Q\vec{\mathfrak{m}}\over ca}.$$

Теперь посмотрим, какой момент импульса будет передан сфере после исчезновения магнитного поля. Начнем с момента электрических сил

$$\vec{M}=\int\!\vec{R}\times\rho\vec{E}\,dV={Q\over 4\pi}\int\!\vec{R}\times\vec{E}\,d(\cos\theta)\,d\varphi.$$

Учитывая, что вихревое электрическое поле определяется формулой

$$\vec{E}=-{1\over c}{\partial \vec{A}\over\partial t},$$

для момента импульса имеем

$$\vec{L}=\int\!\vec{M}\,dt={Q\over 4\pi c}\int\!d(\cos\theta)\,d\varphi\,\vec{R}\times\!\int\!-{\partial \vec{A}\over\partial t}dt.$$

Векторный потенциал уменьшается от начального значения $$\vec{A}$$, задаваемого формулой (1), до нуля. Поэтому последний интеграл просто равен $$\vec{A}$$. Таким образом,

$$\vec{L}=\cfrac{Q}{4\pi c a}\int\!d(\cos\theta)\,d\varphi\,\vec{n}\times \left[\vec{\mathfrak{m}} \times \vec{n}\right].$$

Это выражение совпадает с (2).

Как и ожидалось, весь момент импульса, запасенный в постоянном электромагнитном поле, передается зарядам при исчезновении магнитного поля.

Ключевые слова: электродинамика | Комментарии (14)
Роман Парпалак

Простейшая модель электрона: электромагнитная масса и гиромагнитное отношение

16 марта 2011 года, 16:53

Продолжим развлекаться с классической электродинамикой. В прошлый раз мы подсчитали момент импульса в системе, состоящей из магнитного момента (маленькой катушки) в центре большой равномерно заряженной сферы

(1)$$\vec{L}={2\over 3}{Q\vec{\mathfrak{m}}\over ca}.$$

Но магнитное поле вокруг сферы можно создать без дополнительной катушки, просто закрутив ее. Получается, что часть момента импульса вращающейся сферы запасается в ее электромагнитном поле. Определим эту добавку.

Магнитный момент вращающейся сферы 

Мы собираемся показать, что магнитное поле вне равномерно заряженной сферы радиуса a и заряда Q, вращающейся с угловой скоростью ω, точно совпадает с полем магнитного диполя.

Начинаем с векторного потенциала

$$\vec{A}={1\over c}\int\!{\vec{j}\over r}\,dV={Q\over 4\pi ca^2}\int\!{\vec{v}\over r}\,dS={Q\over 4\pi ca^2}\int\!{\vec{\omega}\times a\vec{n}\over r}\,dS,$$

где $$r=|\vec{R}-a\vec{n}|$$ — расстояние от элемента поверхности dS, задаваемого радиус-вектором $$a\vec{n}$$, до точки $$\vec{R}$$, в которой вычисляется векторный потенциал. Учитывая линейность векторного произведения, получаем

$$\vec{A}={Q\over 4\pi ca}\,\vec{\omega}\times\int\!{\vec{n}\over \sqrt{R^2 + a^2-2Ra\cos\chi}}\,dS.$$

Интеграл $$\vec{I}$$ в последнем выражении — это усреднение единичного вектора $$\vec{n}$$ по направлениям с весом 1/r. Исходя из соображений симметрии ясно, что в результате интегрирования мы получим вектор, параллельный вектору $$\vec{R}$$. Подтвердим это вычислением.

В сферических координатах $$\inline \vec{n}=(\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi, \cos\theta)$$. Направим вектор $$\vec{R}=(0,0,R)$$ вдоль оси z. Тогда угол χ между векторами $$\inline \vec{n}$$ и $$\inline \vec{R}$$ совпадает со сферической координатой θ. Z-компонента интеграла

$$I_z=a^2\int\!\cos\theta\,{1\over \sqrt{R^2 + a^2-2Ra\cos\theta}}\,d(\cos\theta)\,d\varphi.$$

Известно, что функцию 1/r можно разложить по многочленам Лежандра (нас интересует область> a)

$${1\over \sqrt{R^2 + a^2-2Ra\cos\theta}}=\sum\limits_{l=0}^\infty{a^l\over R^{l+1}}P_l(\cos\theta).$$

Подынтегральное выражение состоит из произведения этого ряда на многочлен Лежандра $$P_1(\cos\theta)=\cos\theta$$. Тогда из условия ортогональности

$$\int\limits_{-1}^{1} P_k(x)P_l(x)\,dx={2\over 2k+1}\delta_{kl}$$

сразу следует ответ

$$I_z={4\pi\over 3}{a^3\over R^2}.$$

Компоненты Ix и Iy пропорциональны интегралам от периодических функций sin φ и cos φ, и поэтому равны нулю. Переходя от проекций к вектору, для векторного потенциала получаем

$$\vec{A}={Qa^2\over 3c}\,\vec{\omega}\times{\vec{R}\over R^3}.$$

Таким образом, магнитное поле вне вращающейся сферы совпадает с полем магнитного диполя

(2)$$\vec{\mathfrak{m}}={Qa^2\vec{\omega}\over 3c}.$$

Для полноты отметим, что аналогичными вычислениями легко показать однородность магнитного поля внутри вращающейся сферы.

Электромагнитная масса

Коэффициент в (1) можно переписать по-другому, если ввести понятие электромагнитной массы. Оно подробно разбирается в главе 28 выпуска 6 фейнмановских лекций (ниже мы воспроизводим некоторые вычисления оттуда и фактически на протяжении двух постов разбираем задачу 2 к этой главе).

Вслед за Фейнманом мы будем называть электромагнитной массой коэффициент пропорциональности между скоростью равномерного движения сферы и импульсом электромагнитного поля. В нерелятивистском случае

$$\vec{E}=Q{\vec{R}\over R^3},\quad\vec{H}={Q\over c}{\vec{v}\times\vec{R}\over R^3}.$$

Тогда импульс электромагнитного поля дается интегралом

$$\vec{P}={1\over 4\pi c}\int\!\vec{E}\times\vec{H}\,dV={Q^2\over 4\pi c^2}\int\!{1\over R^4}\,\vec{n}\times\left[\vec{v}\times\vec{n}\right]\,dV.$$

Такой интеграл (с точностью до коэффициента) мы вычисляли в прошлый раз, поэтому сейчас просто выпишем ответ

$$\vec{P}={2Q^2 \over 3 ac^2}\,\vec{v}=m_e \vec{v}.$$

Гиромагнитное отношение и модель электрона

Теперь мы можем переписать (1) в таком виде

$$\vec{L}={m_ec\over Q}\,\vec{\mathfrak{m}}.$$

Мы получили интересный результат: гиромагнитное отношение для вращающейся безмассовой заряженной сферы совпадает с гиромагнитным отношением электрона.

Обычно в литературе по квантовой механике утверждается, что нельзя представлять себе спин электрона как его вращение, так как в такой модели скорость точек на его поверхности будет больше скорости света. Сейчас мы в этом убедимся.

Подставим в (1) магнитный момент (2) и спин электрона ½:

$${\hbar\over 2}={2\over 3}\,{Q\over ca}\,{Qa^2\omega\over 3c},$$

откуда отношение экваториальной скорости к скорости света есть

$${a\omega\over c}={9\over 4}\,{\hbar c\over Q^2}={9\over 4\alpha}\approx308.$$

Несостоятельность простейшей модели электрона проявляется и в том, что полная энергия электрического поля

$$U={1\over 8\pi}\int\!{E^2}\,dV={1\over 8\pi}\int\limits_a^{\infty}{Q^2\over R^4}\,4\pi R^2\,dR={Q^2 \over 2a}={4\over 3}\,m_ec^2$$

отличается от ожидаемой величины mec2.

Ключевые слова: электродинамика | Комментарии (5)

AdS/CFT соответствие

18 марта 2011 года, 17:01

После небольшого отступления от современной теоретической физики, осуществленного Ромой, давайте вернемся к тому, что было разработано относительно недавно.

Введение

В конце 1997 года Х. Малдасена опубликовал работу под названием «The Large N limit of superconformal field theories and supergravity», которая отчасти основывалась на ранних работах т'Хуфта касательно упрощения расчетов в калибровочных SU(N) теориях в пределах большого количества цветов N. В этой статье был сделан ряд наблюдений, суммирующихся в гипотетическое (на том этапе, и существенно обоснованное впоследствии) соответствие между конформной SU(N) теорией поля и теорией суперструн в пространстве-времени большей размерности (существенно пространством AdS в прямом произведении с компактным пространством, скажем сферой). Результаты этой работы впоследствии были детально изложены в обстоятельной (~250-ти страничной) статье Малдасены и др. «Large N field theories, string theory and gravity». Интересные конкретные расчеты, подтверждающие соответствие, были проведены в работе Виттена «Anti de Sitter space and holography». В этом посте я преимущественно следую именно последним двум статьям.

Соответствие между двумя теориями, в данном случае между конформной теорией поля и теорией суперструн (или приблизительно — теории супергравитации) в пространстве-времени с размерностью большей на единицу (умноженного вдобавок на некоторое компактное многообразие, скажем сферу, или деление сферы группой дискретных симметрий — орбифолдность, и т.д., дабы получить теорию суперструн именно в десятимерии) называется дуальностью. Вообще говоря, если есть две теории, между которыми можно установить 1-1 соответствие путем сопоставления различных физических параметров одной теории и параметров другой теории, то такие теории называются дуальными. Простейший пример из теории струн есть T-дуальность, которая устанавливает эквивалентность теории струн с одним из пространственных измерений компактифицированном на окружности радиуса R и на окружность радиуса 1/R. При этом спектр обоих теорий совершенно одинаков (напомню что для замкнутых струн необходимо одновременно также переставить КК квантовое число и число обмоток вокруг компактного направления). То есть две теории с по сути разными физическими параметрами совершенно эквивалентны (дуальны) друг другу. Излишне напоминать, что слово дуальность известно из принципа корпускулярно-волнового дуализма, когда два принципиально различных способа описания квантов применяются дополнительно друг к другу в зависимости от конкретики рассматриваемого явления. Этот последний пример очень важен в данном контексте. Действительно, среди физических дуальностей имеется так назывемая S-дуальность, которая устанавливает соответсвтие между сильно и слабо взаимодействующими теориями (пример из QED с монополем — симметрия относительно замены электрических и магнитных величин — в вакууме сводящаяся к замене электрических и магнитных полей — с учетом условия квантования Дирака eg ~ n для электорического заряда e и магнитного заряда g). Тогда для описания сильновзаимодействующей теории можно на самом деле воспользоваться теорией возмущения со стороны слабовзаимодействующей дуальной теории. В AdS/CFT ситуация аналогична (хотя, насколько я знаю, S-дуальностью она не именуется) в том смысле, что сильносвязанная CFT дуальна именно слабосвязанной теории струн, и наоборот.

BPS состояния

Для начала стоит напомнить некоторые факты из теории суперструн. Как известно в теории суперструн типа-IIB существуют солитонные решения, являющиеся Dp-бранами, т.е. протяженными объектами с p продольными измерениями. В теории типа-IIB число p должно быть нечетным. Устойчивость подобного решения обеспечивается тем, что Dp-брана имеет RR-заряд, благодаря которому она взаимодействует с полем замкнутых струн, а именно с RR-сектором безмассовых возбуждений замкнутых струн. Одного заряда не достаточно для стабильности, ключевым является специальное соотношение между массой и зарядом, называемое насыщением BPS-ограничения, или BPS-состоянием. Это понятие из $${\cal N}$$-расширенной суперсимметрии, когда (часть) центральных зарядов совпадает по величине с массой частиц супермультиплета, и потому число повышающий операторов, сформированных из генераторов суперсимметрии и строящих супермультиплет, снижается. Простейший пример — киральный супермультиплет $${\cal N}=1$$ суперсимметрии — когда имеется (в D = 4) только один повышающий оператор, вместо двух — как для массивного (и потому некирального) $${\cal N} =1$$, D = 4 супермультиплета. В случае кирального $${\cal N}=1$$ супермультиплета суперсимметрия нерасширенна и потому все центральные заряды (отождествляемые с RR-зарядами в случае суперструн) просто равны нулю, соответственно насыщение BPS-ограничения просто означает нулевую массу. Пропорциональность (в подходящих единицах и нормировках — равенство) между центральным зарядом и массой обеспечивает стабильность Dp-браны при условии одновременного сохранения заряда и энергии-импульса.

Черные p-браны и предел их геометрии вблизи горизонта

Далее, Dp-браны теории суперструн на самом деле могут рассматриваться как решения супергравитации, являющейся низкоэнергетическим пределом соответствующей теории суперструн. В нашем случае это супергравитация типа-IIB. Среди ее решений имеются статические объекты, являющиеся прямым аналогом Шварцшильдовской черной дыры (вообще говоря, заряженной черной дыры Керра) — черные p-браны. Критическая (стабильная, имеющая нулевую температуру излучения Хокинга, и потому отождествляемая со стабильной Dp-браной теории суперструн) черная p-брана, как и Dp-брана теории суперструн, имеет массу, равную заряду. За счет массы (и заряда) p-брана искривляет геометрию, которую можно найти решая совместную систему уравнений Максвелла-Эйнштейна. А именно, метрика выглядит следующим образом:

$$ds^2=\frac{1}{\sqrt{H(r)}}\left(-dt^2+\sum _{i=1}^pdx^idx^i\right)+\sqrt{H(r)}\sum _{a=1}^{9-p}dr^adr^a$$

(dp есть некий численный фактор) и представляет собой обобщение решения заряженной черной дыры Керра. Здесь введены обозначения

$$H(r)=1+\frac{r_p^{7-p}}{r^{7-p}},\quad r_p^{7-p}=d_pg_sNl_s^{7-p}.$$

При этом связь между дилатоном (скаляр из мультиплета супергравитации) Φ и струнной константой связи gs следующая:

$$e^\Phi =g_sH^{(3-p)/4}$$

Решение имеет горизонт в r = 0 (по сути решение в такой форме определено до горизонта).

Черная брана с такой метрикой имеет RR заряд N, создающий поток через окружающую ее (8 − p)-сферу:

$$\int _{S^{8-p}}F_{8-p}=N$$

С точки зрения Dp-бран тут мы имеем просто напросто N совпадающих Dp-бран, каждая из которых имеет заряд, равный единице.

В специальном случае p=3 мы имеем постоянный дилатон, связанный со струнной константой связи как gs = eΦ . Также R = r3 = 4π gs'2 есть характерный масштаб длины в такой пространственно-временной конфигурации. Вблизи горизонта r → 0 решение для черной 3-браны имеет вид

$$ds^2=(r/R)^2dx\cdot dx +(R/r)^2dr^2+R^2d\Omega _5^2.$$

Здесь под координатами x подразумеваются координаты вдоль браны, как и раньше r есть радиальная координата «от браны к окружающей ее» сфере S5. Вводя переменную z = R2/r мы получаем метрику

$$ds^2=R^2\frac{dx\cdot dx+dz^2}{z^2}+R^2d\Omega_5^2.$$

Эта метрика пространства AdS5×S5, где метрика AdS5 записана в Пуанкаре-координатах, покрывающих половину всего пространства. Как AdS, так и сфера имеют одинаковый «радиус» R.

Пространство AdS5×S5

Такое пространство-время сохраняет все суперсимметрии теории. Чтобы это доказать, нужно вспомнить как вообще определить число суперсимметрий, сохраняемых неким решением уравнений супергравитации, т.е. неким конкретным гравитационном фоном (это особенно полезно при изучении компактификации, когда например теория суперструн в десяти измерениях компактифицируется на некотором многообразии Калаби-Яу, которое сохраняет только четверть от всех суперсимметрий. В результате низкоэнергетический вакуум имеет 4 суперсимметрии в = 4, т.е. получаем $${\cal N}=1$$ MSSM, вместо 16 исходных суперсимметрий гетеротической суперструны. Аналогичные реузультаты имеют место и для других компактификаций, в том числе суперструн типа-II с 32 суперсимметриями).

Сосредоточимся для примера на $${\cal N}=1$$ D = 4 супегравитации с космологической постоянной Λ. Следуя Малдасене запишем действие теории:

$$S=\int d^4x\left(-\sqrt{g}({\cal R}-2\Lambda)+\frac{1}{2}\epsilon ^{\mu\nu\rho\sigma}\bar\psi _\mu\gamma ^5\gamma _\nu\tilde D_\rho\psi _\sigma\right).$$

Классический фон не содержит гравитино ψμ, а просто представляет собой некий фон искривленного пространства-времени. Так что поле гравитино нужно занулить. Однако, тогда возникает вопрос о суперсимемтричности подобного фона без гравитино. Нужно вспомнить преобразования локальной суперсимметрии:

$$\delta V_{a\mu}=-i\bar\epsilon (x)\gamma _a\psi _\mu,$$

$$\delta\psi _\mu =\tilde D_\mu\epsilon (x),$$

где

$$\tilde D_\mu =D_\mu+\frac{i}{2}\sqrt{\frac{\Lambda}{3}}\gamma _\mu.$$

Теперь ясно, что если гравитино исчезает, то тетрады V не преобразуются, так что бозонная часть фона симметрична. Однако фермионная часть фона симметрична только при условии того что локальный параметр суперсимметрии является, как говорят, спинором Киллинга (по естественной аналогии с вектором Киллинга): Dμε = 0. Ясно, что, вообще говоря, только часть компонент спинора может удовлетворять такому условию (в случае многообразия Калаби-Яу с тремя комплексными измерениями — только одна спинорная компонента из четырех). Потому доля сохраняющихся суперсимметрий равна доле компонент спинорного параметра суперсимметрии, удовлетворяющих условию Киллинга. От этого условия можно перейти к следующему:

$$0=[\tilde D_\mu,\,\tilde D_\nu]\epsilon =\frac{1}{2}({\cal R}_{\mu\nu\rho\sigma}\sigma ^{\rho\sigma}-\frac{2}{3}\Lambda\sigma _{\mu\nu})\epsilon$$

(здесь введен следующий элемент «искривленной» алгебры Дирака $$\inline \sigma _{\mu\nu}=\frac{1}{2}\gamma _{[\mu}\gamma _{\nu]}$$).

Для максимально симметричного (то есть симметричного относительно группы с D(D+1)/2 параметрами) AdS имеет место

$${\cal R}_{\mu\nu\rho\sigma}=\frac{1}{R^2}(g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}).$$

Теперь самое время вспомнить, что в теории с данной космологической постоянной Λ решение AdS с радиусом R будет удовлетворять уравнениям Эйнштейна только при условии Λ = 3/R2. Однако при этом же условии легко заметить, что спинор ε удовлетворяет условию Киллинга (точнее его следствию с тензором криизны, которое является условием интегрируемости для уравнения Киллинга).

Как мы видим, пространство AdS сохраняет все суперсимметрии.

Далее, нас на самом деле интересует сколько суперсимметрий сохраняет пространство-время AdS5×S5, а не просто AdS. Здесь имеется нетривиальность по сравнению с обычным подсчетом суперсимметрий в компактифицированных теориях. Обычно, когда мы просто имеем прямое произведение некого компактного многообразия с нулевым потоком RR-полей через компактное многообразие, число сохраняемых суперсимметрий вычисяется с помощью подсчета числа спиноров Киллинга на компактном многообразии. Если применить наивно такой подход в данном случае, стартуя с D=10 гравитации с нулевой космологической постоянной (это тоже выводимое условие исходя из требования сохранения суперсимметрий), то получим, что все суперсимметрии нарушаются, ибо сфера имеет максимальную группу голономии SO(5), не оставляющую неподвижным ни один спинор (который бы таким образом генерировал бы ненарушенные суперсимметрии). Однако, такой подход в данном случае неприменим, ибо мы изначально предполагаем ненулевой поток. Обратите внимание, что выше мы тоже используем ковариантную производную $$\tilde D$$, а не $$D$$, т.е. принимающую во внимание ненулевую космологическую постоянную на уровне AdS. В D=10 космологическая постоянная равна нулю. Однако, мы производим не обычную компактификацию на сферу, а т.н. flux compactification (компактификацию с ненулевым потоком), в данном случае с ненулевым потоком F5 через сферу. Наличие этого потока модифицирует услвоие $$D\epsilon =0$$ на условие $$\tilde D\epsilon$$, модифицированное наличием ненулевого потока. На уровне AdS это условие выражается условием спинора Киллинга с ковариантной производной, постороенной уже с участием космологической постоянной.

Объединяя суперсимметрии с бозонными симметриями пространственно-временной конфигурации, получаем полную группу симметрий теории суперструн на AdS5×S5 являющуюся группой PSU(2, 2 | 4). В нее входят группа SU(2, 2) ~ SO(2, 4), являющаяся симметрией AdS5, группа SU(4) ~ SO(6), являющаяся симметрией S5, а также 32 киральных фермионных генератора IIB суперсимметрии, которые расширяют эти группы до полной супергруппы PSU(2, 2 | 4) и преобразуются под действием спинорных представлений бозонных подгрупп пространственно-временных симметрий.

Конформная теория поля

Теперь стоит вспомнить какую еще роль играют Dp-браны в теории суперструн. Собственно первичная цель их введения состояла в последовательном Пуанкаре-инвариантном способе описания открытых струн с граничными условиями Дирихле, т.е. с зафиксированными концами. Без бран, на которых струны могли бы оканчиваться, было бы совершенно непонятно, что держит их концы, и потому теория оказалось бы не Пуанкаре-инвариантной.

После введения Dp-бран возникает еще одна возможность. Если мы имеем стопку совпадающих друг с другом N Dp-бран, то для открытых струн, которые оканчиваются на бранах из такой стопки, необходимо ввести дополнительные степени свободы — заряды Чана-Патона на концах струны — которые будут обеспечивать описание симметрии по отношению к различным бранам из стопки. В результате спектр открытых суперструн на самом деле становится калибровочным супермультиплетом, ибо два конца струны вместе объединяются в присоединенное представление калибровочной группы U(N) (после введения ориентифолдной плоскости можно получить нужную для сокращения калибровочных аномалий группу SO(32)).

Таким образом теория N совпадающих Dp-бран (точнее теория мирового объема этих бран) есть по сути D = p + 1 U(N) калибровочная теория поля. В случае D3-бран это D = 4 теория супер-Янга-Миллса. Так как это конформная теория, то отсюда CFT часть в названии соответствия.

Следует прокомментировать суперсимметричность такой теории. Dp-браны сохраняют половину суперсимметрий теорий суперструн типа-II (и потому собственно говоря являются BPS-объектами в первую очередь, откуда уже для них следует равенсто RR заряда и массы — натяжения), то есть 16 суперсимметрий. Соответственно получаем в случае D3-бран $${\cal N}=4$$, D = 4 теорию SYM. Однако, будучи конформно-инвариантной теорией, она содержит еще генераторы специальных конформных преобразований, которые в замыкании с 16 суперсимметриями дают 16  дополнительных суперсимметрий. Полная алгебра симметрий есть PSU(2, 2 | 4).

Как мы видим, группы симметрий совпадают с обоих сторон соответствия.

Переход от четырехмерной конформной теории поля к суперструнам в пятимерном пространстве AdS

Следуя Малдасене («TASI lectures on AdS/CFT») проведем следующее простое рассуждение. Допустим, у нас есть четырехмерная конформная теория поля, CFT4. Например, максимально суперсимметричная теория $${\cal N}=4$$ супер-Янг-Миллса. Эта теория обладает группой конформных симметрий SO(2, 4), которая в частности содержит в качестве подгруппы 4d группу Пуанкаре. Поэтому, если теперь мы хотим найти дуальную теорию струн в неком пятимерном (на одно пространственное измерение больше — следуя идее голографии, или точнее — по той простой причине что в четырех измерениях теория струн имеет конформную аномалию, а введение компенсирующего поля Лиувилля может интерпретироваться как дополнительное измерение) пространстве-времени, то метрика в нем должна уважать в первую очередь эту самую 4d Пуанкаре-симметрию. Репараметризацией пятой координаты z можно записать ее как

$$ds^2=w(z)^2(dx_{1+3}^2+dz^2).$$

Наконец, эта метрика должна уважать симметрию скейлинга, тоже являющуюся подгруппой четырехмерной конформной группы: x → λx. Тогда получаем z → λz и необходимо w = R/z. В результате получаем метрику AdS5 в координатах Пуанкаре:

$$ds^2=R^2\frac{dx_{1+3}^2+dz^2}{z^2}.$$

Конкретные расчеты

Аргументы в пользу истинности соответствия, приведенные выше, не приводят сами по себе к конкретным возможностям для вычислений (проверяемых экспериментально — сравнением наблюдений с расчетами столкновений тяжелых ионов с помощью методов квантовой гравитации (!) в пятимерном пространстве-времени AdS5). Таковые возникают после установления соответствия между стат. суммой теории гравитации в AdS5 и конформной теорией поля CFT4. Об этом в следующий раз.

Ключевые слова: суперсимметрия, D браны, конформная теория поля, гравитация, AdS/CFT | Комментарии (1)
Михаил Гойхман

AdS/CFT соответствие. Некоторые примеры вычисления корреляционных функций.

22 марта 2011 года, 02:18

Предыдущий пост был посвящен описанию основ AdS/CFT соответствия. В конце я пообещал привести примеры конкретных расчетов корреляционных функций методом голографии, когда корреляционные функции теории поля вычисляются с помощью супергравитации в объеме, в пространстве-времени большей на единицу размерности. Этим и займемся в этом посте. Будем тесно следовать результатам, приведенным в работе Эдварда Виттена «Anti de Sitter Space and Holography», которая лежит в основе всего обсуждаемого ниже. В той работе развивается идея голографии в качестве описания того, что представляет собой AdS/CFT соответствие. Суть этой идеи понять легко, по крайней мере на классическом уровне. Действительно, возьмите обычное скалярное поле. Оно удовлетворяет уравнению Лапласа. Если рассматривать краевую задачу в шаре, то ясно, что, задав граничные условия на сфере, мы полностью определим динамику поля внутри шара. Совершенно аналогичное утверждение верно в применении к евклидовой форме пространства AdS и его границе.

Обратите внимание на то, что on-shell величины объема соответствуют off-shell величинам границы. В примере выше мы действительно решили уравнение Лапласа в объеме при произвольных (off-shell) условиях на границе.

В некотором роде AdS можно тоже представить как открытый шар, так что координатная область задания AdS есть открытый шар $$\inline \sum _{i=0}^dy_i^2<1$$, а физическое расстояние — интервал — определяемый метрикой в данных координатах yi — расходится при приближении к границе шара:

$$ds^2=\frac{4\sum\limits_{i=0}^ddy_i^2}{(1-|y|^2)^2}.$$

Отсюда известная картинка, изображающая AdS и показывающая координатные расстояния, а не физическое расстояния:

  

Введение

1. Итак, наша задача состоит в установлении соответствия между теорией поля на границе AdSd+1 и супергравитацией (приближающей суперструну) в AdSd+1. Для этого напомним обозначения.

Мы рассматриваем Евклидово пространство AdS, то есть пространство-время с метрикой AdS, но с положительной сигнатурой. Выберем координатную систему Пуанкаре, в которой эта метрика записывается следующим образом:

(1)$$ds^2=\frac{1}{x_0^2}\sum _{i=0}^d(dx_i)^2.$$

Здесь x0 > 0. Пространство AdS в таких координатах имеет границу, представляющую собой Rd при x0 = 0 и бесконечно удаленную точку P при x0 = ∞ (в этой точке расстояние между любыми точками, как видно из выражения для метрики, просто равно нулю).

2. Теперь выведем формулу, которой будем пользоваться в расчетах корреляционных функций. Пусть φ есть любое поле в объеме, а φ0 - его значение на границе. В силу дуальности между теориями в объеме и на границе, полю φ в объеме должен соответствовать некий оператор  $${\cal O}$$, описывающий калибровочно-инвариантным образом некую величину в теории на границе. Замечу, что из простого примера голографии выше вовсе не следует что φ0 и есть то самое граничное поле, которое соответствует полю в объеме φ. Действительно, это всего лишь граничное значение того же самого поля из суперструной части соответствия, в то время как QFT-часть соответствия содержит свои собственные поля.

Далее, со струнной стороны мы имеем статистическую сумму для всевозможных конфигураций поля φ в объеме, при данном граничном значении φ0 (в дальнейшем перейдем в объеме on-shell для конкретных расчетов):

$$Z_{string}(\varphi _0)=\int\limits_{\varphi _0}\! D\varphi\, e^{-S_{string}}.$$

Постольку поскольку квантовая теория определяется статистической суммой, и одновременно эта же квантовая теория дуальным образом должна выражаться в терминах теории поля на границе, значение Z(φ0) должно быть выражаемо через нечто из CFT, также зависящее от φ0. В этом месте выдвигается ключевая формула соответствия:

$$Z_{string}(\varphi _0)=\langle\exp{\int\limits_{boundary}\varphi _0 \,{\cal O}}\rangle.$$

Это довольно формальное выражение,  и должно сопровождаться конкретными указаниями для расчетов, когда возникают расходимости. На примерах ниже подтверждается, что формула дает правильные корреляционные функции для $${\cal O}$$. Однако сейчас уже стоит заметить, что формула имеет именно такой вид потому, что именно так она будет отражать идею голографии, при которой поле $${\cal O}$$ со стороны QFT на границе посредством минимального взаимодействия (обратите внимание, что граничное значение φ0 функции φ из объемной теории играет роль источника для полей $${\cal O}$$ из граничной теории, что используется, естественно, при вычислении корреляционных функций в граничной теории) воздействует на динамику поля φ в объеме. Например, в теории супер-Янга-Миллса мы имеем константу связи gYM2. Качественный анализ AdS/CFT соответствия приводит к тому, что gYM2 = 4πgs. Здесь gs = eΦ есть струнная константа связи (точнее константа связи действие супергравитации), где Φ есть дилатон (синглет Лоренцевой калибровочной группы из бозонного сектора мультиплета супергравитации). Мы тогда видим, что действие SYM на границе содержит в качестве множителя струнную константу связи, выражаемую через дилатон. Естественно тогда, что весь Лагранжиан CFT (уже без константы связи) есть калибровочно-инвариантный оператор, соответствующий полю дилатона в супергравитации в объеме. Другой пример — соответствие между тензором энергии-импульса в CFT и метрикой в AdS.

3. Теперь мы переходим on-shell в объеме. Поле φ не интегрируется по всевозможным конфигурациям, а просто рассматривается как решение классических уравнений супергравитации с данным граничным услвоием φ0. Хочу напомнить, что в данном контексте φ — любое поле из мультиплета супегравитации, не обязательно дилатон (не обязательно — скаляр). Так вот, подобный классический переход подразумевает, разумеется, малость константы связи в супергравитации, валидирующей его. В результате просто имеем

$$Z_{string}(\varphi _0)=e^{-I_S(\varphi)}.$$

Теперь мы полностью готовы к расчету корреляционных функций в теории на границе. Мы должны просто взять классическое решение в объеме, подставить его в действие, потенцировать, получив таким образом классическую аппроксимацию стат. суммы, и потом проварьировать по φ0, являющимся источником для калибровочного поля $${\cal O}$$ на границе. С последующим занулением источников (когда необходимо) получаем корреляционные функции.

Скалярное поле

Рассмотрим классическую динамику свободного безмассового скалярного поля φ (скажем, дилатона, поскольку мы рассматриваем супергравитацию) в объеме AdSd+1. Она описывается действием

$$I(\varphi)=\frac{1}{2}\int d^{d+1}y\sqrt{g}|d\varphi|^2.$$

Мы фиксируем граничное условие φ0 и записываем уравнение Лапласа — являющееся уравнением движения нашего скалярного поля — в метрике (1) для функции Грина K(x0), которая зависит только от x0 в силу независимости постановки задачи от трансляций пространственных координат:

$$\frac{d}{dx_0}x_0^{-d+1}\frac{d}{dx_0}K(x_0)=0.$$

Выписываем решение

$$K(x_0)=cx_0^d.$$

Это решение расходится в точке P на границе (x0 = ∞), причем на самом деле K становится дельта-функцией. Пока неясно, как так происходит, поэтому сделаем замену координат, представляющую собой конформную инверсию:

$$x_i\rightarrow\frac{x_i}{x_0^2+\sum _{j=1}^dx_j^2}$$

для всех координат: i = 0, ..., d. Тогда получаем, что P переходит в точку xi = 0, i = 0, ..., d, а также

$$K(x)=c\frac{x_0^d}{(x_0^2 +\sum _{j=1}^dx_j^2)^d}.$$

Тут стоит вспомнить, что писал Рома в посте про ультрабуст. А именно, представление для дельта-функции, упомянутое там. Адаптация к нынешнему d-мерному случаю дает K(x) являющуюся дельта-функцией от xi = 0, i = 1, ..., d, когда x0 → 0.

В результате решение уравнения Лапласа с данным граничным значением в x0 = 0 выглядит следующим образом:

$$\varphi (x_0,x_i)=c\int d{\bf x}'\frac{x_0^d}{(x_0^2+|{\bf x}-{\bf x}'|^2)^d}\varphi _0(x_i').$$

Подставляя это выражение в on-shell действие I(φ), получаем после некотрых простых вычислений

$$I(\varphi)=\frac{cd}{2}\int d{\bf x}d{\bf x}'\frac{\varphi _0({\bf x})\varphi _0({\bf x}')}{|{\bf x}-{\bf x}'|^{2d}}.$$

Очевидно, что теперь, варьируя по граничным значениям φ0, мы действительно получим правильные корреляционные функции для оператора $${\cal O}$$ с конформной размерностью d. Действительно, в силу лагранжиана взаимодействия $$\varphi _0{\cal O}$$, усредняемого в CFT-части по путям, получаем, что для скалярного поля с нулевой конформной размерностью поле $${\cal O}$$ с необходимостью имеет конформную размерность d. Поэтому двухточечные функции имеют совершенно правильный вид, когда выводятся таким методом.

Ключевые слова: гравитация, конформная теория поля, AdS/CFT | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Пространство AdS

23 марта 2011 года, 12:20

Имеет смысл на всякий случай суммировать в отдельном посте основные факты касательно пространства AdS. В первую очередь пространство AdSd+1 — это максимально-симметричное (число параметров симметрии равно числу вращений плюс трансляций по всем координатам в плоском пределе или числу вращений в пространстве вложения в целом, то есть ½ (d + 1) (d + 2)) решение уравнений Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной Λ. Введя радиус R пространства AdS, связанный с космологической постоянной по формуле Λ = −3/R2, можем представить AdS как вложение (d + 1)-мерного пространства-времени в (d + 2)-мерное пространство Минковского с сигнатурой (2, d):

$$y_1^2+\cdots +y_d^2-t_1^2-t_2^2=-R^2$$

Для конкретных вычислений метрики в разных координатных системах просто положим R = 1. Тогда все координаты будут безразмерными и мы получаем возможность совершать конформные преобразования и всяческие замены координат, не противоречащие размерным соображениям. Вполне очевидно что при таком описании SO (2, d) симметрия AdS становится явной.

1. Переходя к координатам Пуанкаре по формуле

$$(z,x^0,x^i)=((t_1+y_d)^{-1},t_2(t_1+y_d)^{-1},y_i(t_1+y_d)^{-1})$$

получим выражение для метрики

$$ds^2=\frac{1}{z^2}((dx^2)_{d+1}+dz^2).$$

Обратите внимание, что в такой форме имеется явная симметрия по отношению к действию глобальных преобразований подгруппы SO (1, 1) полной группы симметрий SO (2, d):

(x, z) → (cx, cz).

Также видна явная симметрия по отношению к SO (1, d), вращающей координаты x между собой.

В координатах Пуанкаре граница AdSd+1 представляет собой пространство Минковского R1,d−1 в z = 0 и точку P в z = ∞.

Далее, в координатах Пуанкаре можно изобразить только половину всего пространства AdS. Об этом подробнее в пункте 3.

2. Введем сферические координаты на пространственной и временной части (d + 2)-мерного пространтсва-времени вложения по-отдельности:

$$\sum _{i=1}^ddy_i^2=dv^2+v^2d\Omega _d^2,$$

$$\sum_{j=1,2}dt_j^2=d\tau ^2+\tau ^2d\theta^2.$$

Здесь dv и  есть элементы радиальных расстояний, а d и  — элементы угловых расстояний. Поверхность AdS, вложенная в (d + 2)-мерное пространство-время, задается тогда формулой

$$v^2-\tau ^2=-1.$$

Из этой формулы мы можем сразу же выразить τ и  через v и dv, после чего получаем

$$dv^2-d\tau ^2-\tau ^2d\theta ^2=\frac{dv^2}{1+v^2}-(1+v^2)d\theta ^2.$$

Как видно у нас имеется периодичное время θ. Это нам совершенно ни к чему, поэтому мы развертываем окружность, на которой θ принимает значения, до бесконечного радиуса. Такое пространство-время называется CAdS (covering AdS). Именно оно и имеется в виду в AdS/CFT соответствии.

3. Рассмотрим глобальную параметризацию координат пространства вложения координатами пространства AdS:

$$t_1=\cosh\rho\cos\tau,\quad t_2=\cosh\rho\sin\tau,\quad y_i=\sinh\rho\,\Omega_i,$$

где = 1, ..., d, ρ ≥ 0, 0 ≤ τ < 2π, а также ∑Ωi2 = 1. Ясно, что мы имеем d + 1 независимых координат (τ, ρ, Ωi), параметризующих AdS, и метрика записывается в виде

$$ds^2=-\cosh ^2\rho\, d\tau ^2+d\rho ^2+\sinh ^2\rho\, d\Omega ^2.$$

Опять же область значений времени τ должна быть развернута до окружности с бесконечным радиусом.

Перейдем теперь от координаты θ к координате ρ по формуле tan θ = sinh ρ. Тогда 0 ≤ θ < π/2, и метрика приобретает вид

$$ds^2=\frac{1}{\cos ^2\theta}(-d\tau ^2+d\theta ^2+\sin ^2\theta\, d\Omega ^2).$$

Теперь для изучения причинной структуры и построения диаграммы Пенроуза можно совершить конформное преобразование метрики, получая:

$$ds^2=-d\tau ^2+d\theta ^2+\sin ^2\theta\, d\Omega ^2,$$

откуда будет следовать что AdS есть просто половина сферической Вселенной Эйнштейна (у Эйнштейна 0 ≤ θ < π — сферическая координата) с границей в θ = π/2, имеющей топологию сферы (в координатах Пуанкаре мы получили границу с топологией пространства Минковского, что однако просто сфера с бесконечным радиусом). Диаграмма Пенроуза для AdS2 представляет собой прямоугольник с координатами (τθ).

Наконец, координаты Пуанкаре, описанные в пункте 1, покрывают только половину этого прямоугольника, а именно его треугольную часть с одной из сторон, являющейся сферической границей θ = π/2 (или z = 0), а двумя другими сторонами — точечной границей z = ∞. На рисунке ниже, взятом из BBS, обозначение ρ соответсвует нашему обозначению θ.

Диаграмма Пенроуза для AdS


Для большинства практических целей мы будем пользоваться именно координатами Пуанкаре. Тогда мы просто накладываем нулевые граничные условия в точке P, отделяющей треугольник от всего прямоугольника AdS (на диаграмме Пенроуза P представляется в виде двух сторон треугольника, отделяющих область, покрываемую координатами Пуанкаре, от той области AdS, которую они не покрывают), так что динамику можно рассматривать только в Пуанкаре-треугольнике. Поэтому, кстати, точку P иногда называют горизонтом AdS в координатах Пуанкаре. Соответственно в глобальных координатах, в отличии от координат Пуанкаре, пространство AdS не имеет горизонта.

Также полезно порешать задачки из главы 12 BBS по соответствующей тематике. В секции комментариев можно указать те задачи, которые читателям интересно разобрать здесь. Там есть пара задач чисто про AdS и несколько задач по AdS/CFT соответствию.

Ключевые слова: гравитация, AdS/CFT, геометрия | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

DBI действие для D3-браны и AdS/CFT соответствие

31 марта 2011 года, 20:13

Продолжим изучение AdS/CFT соответствия. В этом посте продолжим изучать аспекты описания действия для D3-браны, геометрии решения D = 10 супергравитации, являющегося черной 3-браной, и как все это связано с AdS/CFT соответствием. Некоторые вещи повторю из того, что уже было ранее в вводном посте про AdS/CFT, но под несколько иным углом и подробнее.

1. В первом посте про AdS/CFT я уже показал, что = 10 супергравитация имеет решение, представляющее собой прямой аналог черной дыры Рейснера-Нордстрема, т.е. заряженной черной дыры. Это решение есть черная p-брана. Ясно из соображений симметрии, что постольку поскольку исходная симметрия плоского десятимерного пространства-времени образует группу Лоренца SO (1, 9), то p-брана оставляет SO (1, p) × SO (9 − p) симметрий, в то время как остальная часть бозонных симметрий группы Лоренца оказывается спонтанно нарушенной. Симметрия SO (9 − p) есть просто аналог сферической симметрии черной дыры. Например, в = 4 пространстве-времени 9 надо заменить на 3 (число пространственных измерений), а p на 0, в результате получаем известную SO (3) симметрию геометрии статической черной дыры.

2. Далее рассмотрим вопрос в том, сколько суперсимметрий сохраняет черная p-брана. В теории суперструн типа-II, с которой мы имеем здесь дело, мы начинаем с = 2,= 10 суперсимметрии, то есть с 2 × 16 = 32 суперзарядов. Как известно (см. задачи здесь и здесь), Dp-брана сохраняет половину исходных суперсимметрий, так что мы остаемся с 16 суперзарядами. Теперь вопрос в том, сколько симметрий сохраняет черная p-брана. Если отождествить экстремальную черную p-брану и Dp-брану, то есть если считать, что Dp-брана (введенная как носитель RR-заряда, источник замкнутых струн и объект, на котором могут заканчиваться открытые струны) на самом деле также является сферически-симметричным и заряженным решением уравнений супергравитации, то вывод о половине сохраняемых суперсимметрий Dp-браны на языке p-браны переформулируется в терминах экстремальности этого решения. Тут опять вспоминаем про черную дыру Рейснера-Нордстрема. Существует три вида соотношения между ее массой и зарядом. В подходящих единицах масса либо равна заряду (и тогда черная дыра называется экстремальной), либо больше заряда (тогда — неэкстремальной). Если масса меньше заряда, то черная дыра имеет голую сингулярность и запрещена принципом космической цензуры Пенроуза (сформулированным им для нашей D = 4 космологии, и как я слышал, :) недавно опровергнутым контрпримером в D = 3), который гласит, что унитарная космологическая эволюция не может породить из обычного исходного состояния некое состояние с голой сингулярностью, которое таким образом будет приводить к непредсказуемой эволюции. Так или иначе, оказывается, что если посчитать температуру излучения Хокинга для экстремальной черной дыры, то она окажется равной в точности нулю. Это означает, что такая черная дыра не испаряется.

3. Прокомментируем этот момент подробнее. Для начала нужно вспомнить, как описывать квантовые объекты термодинамическим образом. Если у нас есть изолированная квантовая система, то ее эволюция определяется уравнением Шредингера. Допустим, что наша квантовая система находится в состоянии термодинамического равновесия, например черная дыра и ее равновесное планковское излучение с температурой Хокинга. Теперь нужно провести связь между этими двумя аспектами описания системы. Для этого вспомним, что амплитуда перехода системы из одного состояния в другое определяется фейнмановским интегралом по путям. Записанная так амплитуда является статистической суммой системы (пока что используем этот термин без отношения к термодинамике):

$$Z=\int {\cal D}\phi e^{-iHT}.$$

Тут система переходит из начального состояния в момент времени = 0 в конечное в момент времени = T. Наша система просто переходит из одного своего макроскопического состояния в то же самое состояние по всем возможным путям. Если считать статсумму уже с термодинамическими целями, то нужно просуммировать по всем этим стационарным состояниям:

$$Z=\sum _ne^{-\beta E_n}=\sum _n\langle n|e^{-\beta H}|n\rangle .$$

Теперь замечаем, что среднее от экспоненцированного гамильтониана есть просто амплитуда перехода из одного состояния в то же самое состояние, определяемый квантовой статсуммой за время = −i/β, или евклидово время T = 1/β. Таким образом, чтобы посчитать обычную термодинамическую статсумму, можно позволить системе проэволюционировать между одним и тем же стационарным состоянием за время, равное температуре (в подходящих единицах), и просуммировать по всем этим стационарным состояниям. Термодинамическая статсумма оказывается при этом в точности равной фейнмановскому интегралу по траекториям за конечное время = 1/β, после суммирования по всем начальным (совпадающим с конечными) состояниям.

Итак, если мы имеем некую квантовую физическую систему, то ее температура равна периоду ее евклидова времени. Как получить этот период? Возьмем, например, евклидову шварцшильдову черную дыру в сферически симметричных координатах. Введем координату вблизи горизонта: r = rH(1 + ρ2). Метрика при малых ρ примет вид

$$ds^2\sim 4r_H^2\left(d\rho ^2+\rho ^2\left(\frac{d\tau}{2r_H}\right)^2+\frac{1}{4}d\Omega _2^2\right).$$

Самое главное, что мы видим из этой метрики четырехмерного евклидова пространства, так это то, что время периодично с периодом β = 4πrH.

Однако, если взять метрику заряженной экстремальной черной дыры Рейснера-Нордстрема и применить к ней вышеописанную процедуру, то окажется, что период Евклидова времени равен бесконечности, а потому температура — нулю. Это есть содержание задачи 11.5 BBS.

4. Стабильность имеет прямое отношение к равенству массы и заряда, которое делает невозможным одновременный распад дыры и сохранение заряда и энергии-импульса. В то же время равенство массы и заряда есть BPS-условие для Dp-браны, как я тоже писал в первом посте про AdS/CFT, так что стабильность Dp-браны, или экстремальной черной p-браны, имеет также прямое отношение к сохранению половины суперсимметрий пространства-времени.

Будем следовать параграфу 11.2 книги E. Kiritsis «String Theory in a Nutshell» (сайт с халявными книгами перестал работать, возможно временно, так что если нужна книга, напишите об этом в комментариях). Упростим рассмотрение там до очевидного примера. Начнем с суперсимметричной частицы массы M и заряда q, насыщающей BPS-ограничение, то есть = q. Пусть эта частица распадается на составляющие части с массами mi и зарядами qi. Если частицы разлетаются (как в излучении Хокинга), то

$$M>\sum m_i.$$

При этом BPS-ограничение на каждую конечную частицу и BPS условие для исходной частицы дают

$$q>\sum q_i,$$

в противоречии с законом сохранения заряда. В цитированной книге не накладывается условие необходимости разлета частиц, а используются более тонкие аргументы с особенностями фундаментальных значений модулярного параметра суперсимметричной теории, присутствующем в формуле для BPS ограничения.

Действие Борна-Инфелда

Рассмотрим Dp-брану в некотором пространственно-временном фоне с метрикой gμν. Пусть σα есть координаты мирового объема Dp-браны, поэтому α = 0, ..., p. Запишем действие Намбу-Гото для Dp-браны, максимизирующее мировой объем:

$$S_1=-T_{Dp}\int d^{p+1}\sigma[-\det(G_{\alpha\beta}+kF_{\alpha\beta})]^{1/2}.$$

В формуле фигурирует индуцированная метрика на мировом объеме: Gαβ = gμναXμβXν. Ясно, что динамическими полями являются координаты вложения Xμ, которые полностью определяют метрику на бране. Далее в формуле фигурирует Максвелловский тензор напряженностей Fαβ. Замечу, что в действии Намбу-Гото для струны, которое эквивалентно действию Полякова, такого объекта нет. Это связано с тем, что на струне Полякова (называемой фундаментальной струной, или F-струной) не могут оканчиваться другие струны, в то время как на одномерной D1-бране (называемой D-струной) — могут по определению D-браны. Почему D-брана содержит Максвелловское поле на мировом объеме, а фундаментальная струна нет? Есть несколько способов ответить на этот вопрос, и один из них — требование суперсимметрии (p + 1)-мерной теории, а именно — для обеспечения восьми физических бозонов (ибо мы уже имеем 8 физических киральных фермионов), что образует максимально-суперсимметричную теорию Максвелла с 16 сохраняющимися суперзарядами. Но мы пока не ввели суперсимметрию для описания Dp-браны. На бозонном уровне главная причина наличия Максвелловского поля есть T-дуальность. На самом деле именно благодаря T-дуальности мы генерируем низкоразмерные Dp-браны (т.е. не D9-брану, заполняющую все пространство-время и гарантирующую Неймановские условия для открытых струн по всем координатам), стартуя из Неймановских открытых струн. Поэтому многие свойства Dp-бран связаны именно с T-дуальностью. И наличие Максвелловского поля на мировом объеме — одно из них. Действительно, совершив преобразования T-дуальности по всем p направлениям вдоль Dp-браны, то есть по всем направлениям в которых граничные уловия Неймановские, мы свернем все эти направления и получим D0-брану. Теперь все граничные условия есть граничные условия Дирихле. Вопрос в том, в какую именно точку прежнего (p + 1)-мерного мирового объема осядет D0-брана? То есть, как в прежнем, до-дуальном описании Dp-браны, содержится информация об этой точке. Ясно, что ответ — это наличие некоторого поля на мировой поверхности, а именно — абелева векторного поля Aα. Абелева — потому что соответствует коммутирующим координатам, векторного — потому что соответствует координатам в векторном представлении группы Лоренца на мировом объеме.

Теперь наконец можно перейти к суперсимметричной теории. Также как и в теории суперструн Грина-Шварца (см. начало главы 5 BBS, если интересны детали) сделаем замену

$$\partial_\alpha X^\mu\rightarrow\Pi_\alpha ^\mu=\partial_\alpha X^\mu-\bar\Theta^A\Gamma^\mu\partial_\alpha\Theta^A,$$

где ΘA (A = 1, 2) есть 16-компонентные Майорана-Вейлевские спиноры десятимерного пространства-времени. Следующий этап суперсимметризации — это переход

$$F_{\alpha\beta}\rightarrow{\cal F}_{\alpha\beta}=F_{\alpha\beta}+b_{\alpha\beta},$$

где

$$b=(\bar\Theta^1\Gamma_\mu d\Theta ^1-\bar\Theta^2\Gamma_\mu d\Theta^2)(dX^\mu-\frac{1}{2}\Bar\Theta^A\Gamma^\mu d\Theta^A).$$

Каждая из величин Gαβ и Fαβ теперь суперсимметрична относительно 32 суперзарядов. Так что пока это еще не вполне Dp-брана, она слишком суперсимметрична для того, чтобы 16-суперсимметричные открытые струны могли на ней заканчиваться. Второй член, снижающий количество сохраняемых суперсимметрий до 16-ти, есть член Черна-Саймонса, удобно записываемый как интеграл по (p + 2)-мерному пространству M, содержащему мировой объем WV рассматриваемой Dp-браны в качестве своей границы, от формы dΩp+1:

$$S_2=\int\limits_Md\Omega_{p+2}=\int\Omega_{WV}.$$

Этот член суперсимметричен сам по себе, однако с его наличием полное действие приобретает κ-симметрию, делающую половину фермионных координат калибруемыми. В результате в мировом объеме Dp-браны остается 16 суперсимметрий, и любая теория суперструн (или супергравитации), записанная в метрике, создаваемой Dp-браной, будет содержать 16 спонтанно нарушенных суперсимметрий.

В бозонной теории член S2 переходит просто в

$$S_2=\mu_{p+1}\int C_{p+1},$$

где Cp+1 есть RR-поле, а μp+1 — соответствующий RR-заряд. Подчеркну, что для перехода к классическим теориям именно такое действие и рассматривается, ибо весь фермионный фон кладется равным нулю.

Напоследок замечу, что построенное действие называется DBI действием (помимо Борна и Инфелда — еще Дирак).

Практика

Задача (12.9 из BBS).

Рассмотрим действие Борна-Инфелда для одной пробной D3-браны в AdS5×S5 фоне. Покажите, что когда метрика выражается в терминах координаты u = r/α′, зависимость от α′ аннулируется. Каково значение этого результата?

Хорошо, как мы знаем, SO (1, 3) × SO (6) симметричная метрика экстремальной черной p-браны вблизи горизонта дается выражением

$$ds^2\sim\left(\frac{r}{R}\right)^2dx\cdot dx+\left(\frac{R}{r}\right)^2dr^2+R^2d\Omega_5^2.$$

Эта же метрика может представляться как результат искривления геометрии стопкой из N D3-бран, тогда R4 = 4gs2 (см. BBS (12.28), (12.29)) В принципе количество бран просто дает выражение для заряда, с точки зрения влияния только на геометрию. С точки зрения теории мирового объема, или теории открытых струн, которые прикрепляются к бранам из стопки, мы конечно получаем еще U(N) калибровочную группу теории поля в мировом объеме.

(Эта же метрика оказывется метрикой пространства-времени AdS5×S5, что легко видно введением координаты R2/r:

$$ds^2=R^2\frac{dx\cdot dx+dz^2}{z^2}+R^2d\Omega_5^2.$$

В принципе, мы это уже обсуждали в первом посте про AdS/CFT.)

Итак, мы имеем пространственно-временную метрику

$$g_{\mu\nu}=\text{diag}\left\{-\left(\frac{r}{R}\right)^2, \left(\frac{r}{R}\right)^2,\left(\frac{r}{R}\right)^2, \left(\frac{r}{R}\right)^2, \left(\frac{R}{r}\right)^2,R^2g_{ij}\right\},$$

где gij обозначает метрику единичной сферы, а также оба AdS5 и S5 имеют одинаковый радиус R. Обозначим f = R4/r4. Если мы хотим построить DBI действие для пробной D3-браны в AdS5 × S5 фоне то во первых мы должны совершить pullback этой фоновой метрики на мировой объем D3-браны. Так как фон зафиксирован, мы можем выбрать статические координаты для параметризации мирового объема D3-браны. Мы также должны принять во внимание возможность движения D3-браны по r координате и на сфере S5. Поэтому pullback фоновой метрики на мировой объем D3-браны выглядит следующим образом:

$$g_{\alpha\beta}=f^{-1/2}\eta _{\alpha\beta}+f^{1/2}\partial_\alpha r\partial_\beta r+r^2f^{1/2}g_{ij}\partial_\alpha\theta^i\partial _\beta\theta ^j$$

где я обозначил координаты 5-сферы как θi. Бозонная часть DBI действия выведена выше, и именно ей мы будем пользоваться. Натяжение равно

$$T_{D3}=\frac{1}{(2\pi)^3\alpha ^{\prime 2}g_s},$$

как следует из BBS (6.115). В результате получаем действие

$$S_1=-\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}\int d^4xf^{-1}\sqrt{-\det\left(\eta_{\alpha\beta}+f\partial_\alpha r\partial_\beta r+r^2fg_{ij}\partial_\alpha\theta^i\partial_\beta\theta^j+2\pi\alpha'\sqrt{f}F_ {\alpha\beta}\right)}.$$

Здесь x обозначает первые четыре координаты AdS5 — координаты «на границе». Детерминант взят для 4×4 матрицы с индексами α, β.

Как отмечено выше, в DBI действии имеется еще второй член S2, который в бозонном действии сводится чисто к описанию взаимодействия D3-браны с полем C4:

$$S_2=\mu_3\int C_4.$$

В силу того, что D3-брана есть BPS-объект, заряд и натяжение для нее взаимосвязаны:

$$\mu _3=T_{D3}=\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}.$$

В силу соображений симметрии (вообще то это следует из точного решения уравнений IIB-супергавитации, предоставленного в BBS (12.25)) мы выбираем

$$C_{\mu\nu\lambda\rho}=\sqrt{|g_4|}\varepsilon_{\mu\nu\lambda\rho}= f^{-1}\varepsilon_{\mu\nu\lambda\rho},$$

и тогда находим

$$S_2=\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}\int d^4xf^{-1}.$$

В результате получаем следующее бозонное DBI-действие:

$$S=-\frac{1}{(2\pi)^3\alpha^{\prime 2}g_s}\int d^4xf^{-1}\left[\sqrt{-\det\left(\eta_{\alpha\beta}+f\partial_\alpha r\partial_\beta r+r^2fg_{ij}\partial_\alpha\theta^i\partial_\beta\theta^j+2\pi\alpha'\sqrt{f}F_{\alpha\beta}\right)}-1\right].$$

Можно легко устранить зависимость действия от α′ путем простой замены координат r = ′, т.к. ~ (α′)2. При изучении гравитационной части AdS/CFT соответствия мы (можем быть) заинтересованы в низкоэнергетическом пределе теории суперструн (и потому в переходе к супергравитации), что может быть достигнуто путем отправки энергетического расстояния между уровнями возбуждения струны в бесконечность: α′ → 0. В этом пределе теория в объеме (гравитация) полностью отщепляется от теории на границе, ибо ньютоновская константа связи между ними стремится к нулю: κ ~ gsα2 → 0. Энергия Eb любого возбуждения в объеме с радиальной координатой r дает значение E = gtt(r)Eb = rEb/α′, когда измеряется наблюдателем на бесконечности (в силу красного смещения). Если мы держим энергию E и энергию Eb фиксированной в струнных единицах, то это приведет к требованию фиксированной координаты u = r/α′.

Ключевые слова: гравитация, D браны, AdS/CFT, задачи | Комментарии (4)

← сюда туда →