Заметки о теоретической физике → 2011 → 02 → 17
Михаил Гойхман

Пример нахождения суперсимметрий, сохраняющихся при данной конфигурации D-бран

17 февраля 2011 года, 01:06

Ранее я опубликовал задачу, в которой требовалось найти суперсимметрии, сохраняемые данной конфигурацией D-бран. В этом посте рассмотрим похожую задачу. А именно, найдем суперсимметрии сохраняемые конфигурацией D2-D6-NS5-KK; где D2-брана (индексуемая как объект 1) имеет продольные направления (49), D6-брана (объект 2) — (456789), NS5-брана (объект 3) — (45678) и KK возбуждение (объект 4) имеется в направлении 4.

Тогда суперсимметрии, сохраняемые D2-браной, даются выражением

$$Q_1 = Q + \beta \beta ^5 \beta ^6 \beta ^7 \beta ^8 Q' .$$

D6-браной:

$$Q_2 = Q + \beta Q'.$$

KK модой:

$$Q_4 = Q + \beta\beta^5 \beta^6 \beta ^7 \beta ^8 \beta ^9 Q' .$$

Здесь используется обозначение β = β1β2β3. При этом NS5-брана, будучи S-дуальным объектом к фундаментальной струне, сохраняет все суперсимметрии.

Далее введем 5 матриц S, строящих представление алгебры Дирака в D = 10 пространстве-времени (см. Polchinski, String Theory, vol. II, App. B):

$$2iS_a=\beta ^{2a}\beta ^{2a+1}$$

Тогда получим

$$Q_1=Q+8i\beta\beta ^4S_2S_3S_4\beta ^9 Q^{\prime},$$(1)

$$Q_2= Q+\beta Q^{\prime},$$(2)

$$Q_4=Q+8i\beta\beta ^4S_2S_3S_4 Q^{\prime}.$$(3)

Очевидно, что каждое из условий нарушает половину суперсимметрий исходной N = 2 суперсимметричной теории. Так что начнем с условия (3), которое нарушит половину суперсимметрий, и посмотрим, какие суперсимметрии тогда сохранят оставшиеся условия (1) и (2). Ясно, что согласованность (1) и (3) требует β9ζs = ζs, где ζs есть один из спиноров, сохраняющих суперсимметрию, то есть все спиноры мы параметризуем 5-компонентным вектором s, каждая из координат которого принимает значения ±½ (и в результате получаем 32-компонентные спиноры ζs, в частности Q = ∑Qsζs, Q′ = ∑Q′sζs), но нас интересуют только те спиноры, которые сохраняют суперсимметрию. Таким образом, количество суперсимметрий уменьшится еще вдвое. Наконец, согласованность (2) и (3) ограничивает число возможных значений ζs в совокупности с условием собственности спинора по отношению к матрице β4 до

$$(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},1),\;(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1),\;(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-1),\;(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},-1),$$

$$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1),\;(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1),\;(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1),\;(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1).$$

Ясно, что 16 возможностей урезаны до 8-ми, ибо теперь только одно собственное значение β4 соответствует данному набору (s1s2s3) вместо двух.

Вот так решаются задачи подобного характера.

Ключевые слова: задачи, суперсимметрия, D браны

Комментарии

#1. 1 апреля 2011 года, 01:47. Ivonna Aira пишет:
0. Очень простой способ.

1. А как быть, если браны заданы на произведении риччи-плоских пространств?

Тут нужны параллельные (или ковариантно постоянные) спиноры (Киллинга).

У меня ряд вопросов.

2. Существует классификация римановых (риччи-плоских) многообразий, имеющих параллельные (или ковариантно постоянные) спиноры Киллинга, по группам голономии. Но там, вроде, не говорится о киральности спиноров. Например, 4-мерное многообразие K3 (с группой голономии SU(2)) имеет 2 параллельных (ковар. постоянных) спинора одной киральности, а у 6-мерного Калаби-Яу (с группой голономии SU(3)) тоже 2 парал. спинора- но разной киральности. Где найти таблицу полную — с киральностями? Тайсон (из Гольма) в своих лекция числа киральных
параллельных спиноров объясняет с помощью теории представлений групп.
Особый интерес — 8-мерие. (Можно спросить у Г. Гиббонса — наверное, он знает.)


3. Была бы рада получить примеры 4-мерных риччи-плоских многообразий псевдоевклидовой
сигнатуры, имеющих:
а) один параллельный спинор,
 б) 2 параллельных спинора одной киральности,
в) 2 параллельных спинора разной киральности.

В 6-мерии Фигуэра-О' Фаррил (не ручаюсь за произношение фамилии), нашёл некоторые подобные примеры. (Вроде как, в  Берлине некоторые математики это должны знать: например, Хельга Баум, её ученики и др.)
#2. 1 апреля 2011 года, 02:45. Михаил Гойхман пишет:
0. Хаха, не стану спорить.

1. Тут разумно вспомнить другой подход к исследованию сохранения суперсимметрий Dp-бранами. Берутся преобразования суперсимметрии в пространстве-времени. Затем записывается какая-то физическая структура, для которой мы хотим найти число сохраняемых ею суперсимметрий. Скажем, Dp-браны. Для Dp-бран у нас имеется еще $$\kappa$$-симметрия полного действия. В случае одной Dp-браны $$\kappa$$-симметрия двигает только половину фермионов. Поэтому с пом. нее можно компенсировать SUSY преобразования половины фермионов, сохраняя (нулевую) фермионную конфигурацию. Тогда и бозоннная (пространственно-временная) конфигурация сохранится.

На самом деле ков-но постоянные спиноры Киллинга используются для нахождения числа сохраняющихся суперсимметрий в  данной фоновой геометрии. Скажем, действительно, в Калаби-Яу. Однако для бран дело другое — у нас есть действие для бран и именно благодаря этому действию у нас есть $$\kappa$$-симметрия, которая активно участвует в анализе сохраняющихся суперсимметрий. Просто в данной фоновой геометрии, или геометрии компактификации, такого нет. С другой стороны можно рассматривать Dp-браны, оборачивающие Лагранжевы подмногообразия компактных пространств (в т.ч. КЯ), и тогда браны сохраняют часть тех суперсимметрий, которые в свою очередь сохраняет рассматриваемое КЯ и т.д.

2. Классификация по группам голономии Ричии-плоских многообразий. Хмм, это что — КЯ ($$\in SU(d/2)$$), гипер-Кэлер ($$\in Sp(d/4)$$) и кватернионный Кэлер ($$\in Sp(d/4)\cdot Sp(1)$$)? Это довольно неконкретная классификация, обычно в суперструнах берут шестимерные КЯ и классифицируют их по числам Ходжа, дабы получить экспериментально интересные 4x-мерные вакуумы. Недавно кто-то опубликовал статью с классификацией первых двух десятков простейших КЯ (можно поискать заметку где-то у Любоша Мотла за этот год). А киральности — обычное дело, просто надо найти таблицу, в которой написано в каких размерностях существуют Вейлевские спиноры, а в каких нет. Это Полчинский, том 2, приложение В. В восьмимерных пространствах существуют Вейлевские спиноры. Потом, в прямом произведении со спинорами из некомпактных пространств они должны давать Майорана-Вейлевские спиноры из десятимерия.

3. Псевдоевклидовой?:) Любопытное желание (обычно на такие штуки пространство компактифицируется, поэтому сигнатура ++ берется). Хотя если 4х-мерное — это наше старое доброе пространство-время, то ОК. Хотя я все равно не вполне понимаю условие задачи. Число спиноров зависит от исходной алгебры суперсимметрии, а именно от того, на сколько она расширена. Только потом, зная какая доля суперсимметрий сохраняется, можно узнать сколько осталось спиноров (суперсимметрий). Далее нужно найти 4x мерные пространства с нулевым Риччи. Т.к. нас интересует Минковский, то берем например какую-то орбифолизацию плоского пространства. Скажем, произведение прямой (времени) и тора (параллелограмного замощения — точнее одной 'плитки' — 3d пространства). Надо еще посмотреть соот-но какую часть суперсимметрий такая орбифолизация сохраняет (просто посмотреть как преобразуются спиноры и взять те, что не меняются).
#3. 1 апреля 2011 года, 17:03. Ivonna Aira пишет:
Спасибо большое за ответ (он, правда, слегка о другом),
см. мои коментарии ниже.

0. Воздержусь от смеха сегодня.

1. Тут более скромные (учебные) задачи в чисто гравитационном секторе (без выписывания действий для бран а ля Шварц, Сорокин,Нурмагамбетов, Пасти и. т. п. и $$\kappa$$-симметрии).

В основном интерес к решениями в SUGRA D=11 с пересек. M-бранам с возможной редукцией к D2 — D4, FS1, NS5
(и в последнюю очередь к D3 .... — хотя это более популярно).

Стартовые (простые) работы , например, типа hep-th/9702202, hep-th/9910086;

2. Если у 6-мерного КЯ с SU(3) группой голономии (вроде как всегда) 2 ков. пост. спинора противоположной киральности (см. лекции Тайсона)  — то как это можно поправить, меняя (независимые) числа Ходжа $$h^{p,q}$$?

В D=11 основное условие — условие Майораны. (Кстати при анализе решений с дробными суперсимметриями здесь его можно не накладывать, считая спинор суперпреобразований комплексным — если мы интересуемся только числом дробных суперсимметрий $${\cal N}$$ на данном фоне. Действительно, если число линейно независимых комплексных решений обобщ. уравнения Киллинга равно N, то при овеществлении получим 2N, наложение условия Майораны съедает половину, т.е. получим снова N.)


Например, у Гиббонса и др. в  hep-th/9702202 рассматривается простое решение в D=11 SG для M2-браны на (warped poduct) $$M_8\times M_3$$, $$M_3$$ — пространство Минковского, $$M_8$$ — гипер-Кэлерово мн. с с группой голономии Sp(2). Число дробных суперсимметрий в общем случае (при надлежащем выборе знака решения для 4-формы)  — 3/16.

(Правда, не помню, возможно ли здесь при надлежащем частном выборе гармоничесой функции (of near-horizon-type) получить $$M_8\times AdS_3$$ и увеличить число суперсимметрий).

Вычисления дают, что число суперсимметрий равно $$n_c/16$$, где $$n_c$$ — число киральных параллельных спиноров с киральностью $$c = \pm 1$$, равной ``знаку'' формы $$F_{4}$$. Таблицы дают $$n_{+1}+n_{-1} = 3$$ для Sp(2). См., например, hep-th 9904124 таблица 1. Значит, если Гиббонс прав, то $$(n_{+1},n_{-1})$$ = (3, 0) или (0,3).

Аналогично, для SU(4) $$(n_{+1},n_{-1})$$ = (2, 0) или (0,2), (\cal N = 1/8), a для Spin(7) $$(n_{+1},n_{-1})=(1, 0)$$ или (0,1) ($${\cal N}$$ = 1/16). (Если прав Фигуэра в hep-th 9904124.)

Но почему для групп голономии SU(2) (K3 — многообразие) и SU(4) киральный состав парал. спиноров (2,0) или (0, 2), а для SU(3) — (1, 1) (если прав Тайсон)?

Кстати, изменение знака F-формы даст $${\cal N} = 0$$. (Когда-то, лет 30 назад такие ситуации получали Дафф, Сорокин,.... в основном для решений типа Фройнда-Рубина.)

Кстати случай 11 = 8(Евклид) + 3(Минковский) хорош тем, что здесь можно выбрать гамма-матрицы $$\Gamma^a$$ — в $$M_8$$ и  $$\gamma^\mu$$ — в $$M_3$$ вещественными, и, как следствие, 11-мерные гамма-матрицы $$\Gamma^a\otimes I_3$$, $$\Gamma\otimes\gamma^\mu$$ — вещественные

Тогда условие Майораны — это вещественность спинора (В-матрица есть $$I_{32}$$). В общем случае таких счастливых случае редко встретишь, например, для M-5 решения с  11 = 5(Евклид) + 6(Минковский), вроде, это не так.

Здесь Евклид, Минковский — означают только сигнатуру. То есть разложение спинора (и гамма-матриц ) в тензорные произведения (а для неплоских фактор -пространств иначе и не решишь обобщённые уравнения Киллинга для спинора суперпреобразований) вообще говоря, конфликтует с желанием выбрать вещественные или мнимые гамм-матрицы и свести В-матрицу к единице — $$1_{32}$$). (Напомним, $$\epsilon^{*} = B \epsilon$$).


3. Существуют теоремы, о том, что нетривильные $$M_4$$, сигнатуры (-, +, +, +), где есть параллельные спиноры имеют (наверное, локально) вид решений типа плоских волн. Но конкретные примеры мне неизвестны. (Стесняюсь пока спросить Хельгу Баум или Фигуэру-... или Д.В. Алексеевского). Такие $$M_4$$ можно получить как подмногообразие 6-мерного мирового объёма M5-браны (а для трёх пересек. M2-бран ортогональное 4-мерное подпространство имеет сигнатуру (+,+,+,+). Это может быть K3, например.)

Проблема:
Тауб-НУТ решение риманово (с SU(2) голономией) можно сделать псевдо-римановым, но останется ли при этом 2 ков. пост. спинора -- это вопрос — и какая при этом будет группа голономии?
#4. 1 апреля 2011 года, 18:46. Михаил Гойхман пишет:
Новая нумерация:

1."Если у 6-мерного КЯ с SU(3) группой голономии (вроде как всегда) 2 ков. пост. спинора противоположной киральности (см. лекции Тайсона)  — то как это можно поправить, меняя (независимые) числа Ходжа?"

У всех D=6 КЯ группа голономии принадлежит SU(3). Наибольшая группа голономий D=6 пространства есть SO(6), в спинорном представлении это SU(4), и потому у нас есть $$4$$ и $${\bar 4}$$ киральные спиноры. Соответственно голономия U(3) уже оставляет только одну компоненту 4х-компонентного спинора каждой киральности. В терминах суперсимметричности вакуума получаем сохранение 1/4 суперсимметрий. Далее, специальность SU(4) просто означает, что многообразие Риччи-плоское (это актуально, чтобы решение удовлетворяло Эйнштейну). Наконец, самое простое D=6 многообразие КЯ — это 6-тор. У него, очевидно, тривиальная голономия. Далее, меняя топологию, стартуя с тора (меняя Ходжей) одновременно меняем голономию. Действительно, возьмем одну из плиток на одной из комплексных плоскостей, формирующих тор. Произведем на ней идентификацию $$z=ze^{i\phi}$$, где $$\phi$$ — некий постоянный угол, т.е. сделаем орбифолизацию тора. В результате получим нетривиальные замкнутые циклы, которых раньше не было, так? При протаскивании по этим замкнутым циклам спиноры преобразуются нетривиально — т.е. голономия поменялась, и одновременно сам факт появления замкнутых циклов означает изменение Ходжей.

2. «Например, у Гиббонса и др. в  hep-th/9702202 рассматривается простое решение в D=11 SG для M2-браны на (warped poduct) , $$M_8\times M_3$$, $$M_3$$  — пространство Минковского, $$M_8$$ — гипер-Кэлерово мн. с с группой голономии Sp(2). Число дробных суперсимметрий в общем случае (при надлежащем выборе знака решения для 4-формы)  — 3/16.»

Посмотрим. В D=8 пространстве голономия есть SO(8) (для спиноров это 8-ми компонетное представление Spin(8), для само-cопряженных Вейлевских спиноров), в то же время Sp(2)=SO(5) оставит три компонеты неменяющимися. Однако SO(5) не имеет Вейлевских спиноров... Хотя, cудя по комментарию с $$n_{+1}+n_{-1}=3$$ действительно получаем 3/16 Киллиногвых спиноров (в сумме для спиноров обоих киральностей).

3. «Правда, не помню, возможно ли здесь при надлежащем частном выборе гармоничесой функции (of near-horizon-type) получить $$M_8\times AdS_3$$ и увеличить число суперсимметрий.»

Не уверен. Само по себе $$AdS_3$$ сохраняет все суперсимметрии что и $$M_3$$. Однако, если можно осуществлять warp, то наверное.

4. «Но почему для групп голономии SU(2) (K3 — многообразие) и SU(4) киральный состав парал. спиноров (2,0) или (0, 2), а для SU(3) — (1, 1) (если прав Тайсон)?»

Наверное просто разные обозначения. (1,1) — это по одной комплексной компоненте каждой киральности, то же самое (2,0) — это две вещественные (так менее удобно, если расщепляем десятимерные спиноры) дле левой киральности и т.д.

5. «Тауб-НУТ решение риманово (с SU(2) голономией) можно сделать псевдо-римановым, но останется ли при этом 2 ков. пост. спинора -- это вопрос — и какая при этом будет группа голономии?»

Хм. Псевдо-Риманов Тауб-НУТ — это $$ds_5^2=-dt^2+ds_{TN}^2$$, он пятимерен (где $$ds_{TN}^2$$ есть ричии-плоский риманов D=4 Тауб-НУТ), или что-то вроде $$R^1\times S^3$$ — четырехмерен и псевдоевклидов (с голономией SU(2)xSU(2)). В соответствии с этим уточните вопрос пожауйста: мы начинаем с риманова $$ds_{TN}^2$$ и меняем у него как-то сигнатуру (получая псевдо-риманово многообразие), или мы что-то делаем с псевдоримановым D=4 Тауб-НУТом?
#5. 2 апреля 2011 года, 03:54. Владимир пишет:
Наверное в пункте 3. Ivonna хотела привести пример, когда риччи-плоское $$ M_8 $$ есть конус над пространством Эйштейна $$K_7$$ (со скалярной кривизной равной $$42$$).
( Наверное, $$K_7$$ может быть пространством Эйнштейна-Сасаки.)
То есть метрика $$ds^2(M_8) = dR^2 + R^2 ds^2(K_7)$$. Тогда для гармонической функции
$$H = Q/R^6$$ (near-horizon Ansatz) получим многообразие $$K_7 \times AdS^4 $$(точнее, там будет часть $$AdS^4$$). Решение Фройнда-Рубина (кажется, там $${\cal N} = 1 $$) $$S^7 \times AdS^4 $$отвечает $$M_8 = R^8$$ и $$K_7 = S^7$$. Тут в игру вступают спиноры Киллинга с $$\lambda \neq 0 $$(не параллельные). Можно предположить, что число суперсимметрий увеличится вдвое по сравнению со случаем $$H = 1 + Q/R^6$$ . Скажем вместо $$3/16$$ станет $$3/8$$ ...(для $$Hol(M_8) = Sp(2)$$.) Возникают дополнительные суперсимметрии здесь эксклюзивно для $$H = Q/R^6$$. (Основной вклад в число суперсимметрий от вида функции $$H $$ не зависит (например, $$ 3/16 $$ для $$ Hol(M_8) = Sp(2)$$.): $$ H$$ — могла быть даже негармонической: в этом случае метрика и 4-форма не удовлетворяли бы уравнениям движения, но имелись бы дробные суперсимметрии). Но может быть и дополнительный вклад (для $$ H $$ of near-horizon type). Figuera-O' Farrill... это отмечал (кратко в сноске без формул).

По пункту 5. Наверное здесь Ivonna имела в виду замену в метрике Тауб-Нут
$$R$$ (радиус) на $$iR $$и $$ M$$ (параметр типа грав. радиуса) на $$iM$$ ($$i = \sqrt{-1}$$). Получится 4-метрика сигнатуры $$(+,-,-,-)$$, риччи-плоская. Возможно, группа голономии станет $$SO(1,2)$$ вместо $$SU(2)$$ (у Тауб-Нут).
#6. 17 мая 2011 года, 01:34. Vladimir пишет:
Михаил, извините за долгое молчание.

Я прояснил с киральностью параллельных спиноров, о чём ранее писали.
Для групп голономии $H =Sp(2), SU(4), Spin(7)$ ,  — соответсвенно,
$3, 2, 1$ параллельных спинора одной киральности.

Для $H =SU(2k)$  — 2 параллельных спинора одной киральности и
для $H =SU(2k-1)$  — 2 параллельных спинора разной киральности.

Всё это для односвязных, полных, неприводимых (спиновых) многообразий.
Для неодносвязных многообразий числа могут быть меньше.
#7. 17 мая 2011 года, 02:06. Vladimir пишет:
У меня 3 маленьких вопроса.

1. Плоское евклидово пространство $$R^{n}$$  — это конус над сферой $$S^{n-1}$$ c метрикой $$g = dr^2 + r^2 g[S^{n-1}]$$, $$r > 0$$.

Верно ли, что конус над $$S^{n-1}/Z_2 = RP^{n-1}$$ имеет вдвое
меньше параллельных спиноров, чем $$R^{n}$$: причём, если
$$n$$ — чётно, то пар. спиноры имеют одну киральность.

2. Рассмотрим псевдо-конус над псевдо-сферой (пространством Лобачевского) $$H^{n-1}$$ c метрикой $$g =$  — $dt^2 + t^2 g[H^{n-1}]$$, $$t > 0$$. (Извините, минус не компилировался.)
Это верхний световой конус $$V_{+}^{n}$$ в пространстве Минковского $$R^n = R^{1,n-1}$$.

Верно ли, что конус над $$H^{n-1}/Z_2$$ имеет вдвое
меньше параллельных спиноров, чем $$V_{+}^{n}$$ или $$R^{n}$$: причём, если $$n$$ — чётно, то пар. спиноры имеют одну киральность?

3. Кто это использовал ранее для суперсимметричных решений с бранами? (Насколько я понимаю,
речь идёт об орбифолдах и конифолдах. Обобщение случая 1 при n = 8 (и $$S^{n-1}/\Gamma$$,
arxiv: 0909.0163) расматривалось для M2-браны в контексте возможного применения в дуальной D=3 модели ABJM. Но здесь меняли трансверсальное пространство, а меня интересует «орбифолдизация» мирового объёма бран.)
#8. 17 мая 2011 года, 11:27. Mikhail Goykhman пишет:
Владимир, не за чем извинятся, вы задали вопросы, я ответил, так что транзакция была закончена. Насчет новой транзакции: вам нужно уточнять какова исходная группа голономии (максимальная), т.е. какова размерность вашего пространства(-времени), перед тем как вы начинаете считать число ковариантно постоянных (параллельных) спиноров. Подозреваю, что большинство ваших примеров в первом комменте относятся к многообразиям с 4 комплексными координатами.
#9. 17 мая 2011 года, 11:39. Михаил Гойхман пишет:
По поводу второго коммента:

1. Не уверен насчет половины. По-моему сохраняются только два спинора. Если их было 4, то половина. Например, когда вы орбифолдите $$S^5$$ (как ребята делают в AdS/CFT). Насчет четности и нечетности размерности сферы — видимо вы правы в отношении соответствующих киральностей спиноров, ибо в нечетных размерностях нет киральных спиноров.

2. Как и в предыдущем случае — не думаю, что это всегда половина. Зависит от размерности пространства-времени.

3. Конифолд — частный случай орбифолда. Разумеется многие компактифицировали струны на орбифолды. В некотором смысле КЯ тоже орбифолды, только со сглаженными (раздутыми) сингулярностями. Это делают с целью убиения части SUSY или чтобы играть с калибровочной группой (как опять же делают в AdS/CFT). Когда играют с калибровочной группой, то действительно рассматривают пачку совпадающих Dp-бран, локализованных в какой-то точке того подпространства, которое вы орбифолдите. Не изучал в деталях ABJM..., они там вроде строили N=6 суперсимметричного CS, потом видимо применяли это к мембранам (как теорию мирового объема мембран), убив при этом часть суперсимметрий с помощью таких орбифолдизаций (ибо должно было бы быть N=8), не уверен,не читал последние 2/3 их работы.

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 35+6?