Заметки о теоретической физике → 2011 → 02 → 17
Михаил Гойхман

Пример нахождения суперсимметрий, сохраняющихся при данной конфигурации D-бран

17 февраля 2011 года, 01:06

Ранее я опубликовал задачу, в которой требовалось найти суперсимметрии, сохраняемые данной конфигурацией D-бран. В этом посте рассмотрим похожую задачу. А именно, найдем суперсимметрии сохраняемые конфигурацией D2-D6-NS5-KK; где D2-брана (индексуемая как объект 1) имеет продольные направления (49), D6-брана (объект 2) — (456789), NS5-брана (объект 3) — (45678) и KK возбуждение (объект 4) имеется в направлении 4.

Тогда суперсимметрии, сохраняемые D2-браной, даются выражением

$$Q_1 = Q + \beta \beta ^5 \beta ^6 \beta ^7 \beta ^8 Q' .$$

D6-браной:

$$Q_2 = Q + \beta Q'.$$

KK модой:

$$Q_4 = Q + \beta\beta^5 \beta^6 \beta ^7 \beta ^8 \beta ^9 Q' .$$

Здесь используется обозначение β = β1β2β3. При этом NS5-брана, будучи S-дуальным объектом к фундаментальной струне, сохраняет все суперсимметрии.

Далее введем 5 матриц S, строящих представление алгебры Дирака в D = 10 пространстве-времени (см. Polchinski, String Theory, vol. II, App. B):

$$2iS_a=\beta ^{2a}\beta ^{2a+1}$$

Тогда получим

$$Q_1=Q+8i\beta\beta ^4S_2S_3S_4\beta ^9 Q^{\prime},$$(1)

$$Q_2= Q+\beta Q^{\prime},$$(2)

$$Q_4=Q+8i\beta\beta ^4S_2S_3S_4 Q^{\prime}.$$(3)

Очевидно, что каждое из условий нарушает половину суперсимметрий исходной N = 2 суперсимметричной теории. Так что начнем с условия (3), которое нарушит половину суперсимметрий, и посмотрим, какие суперсимметрии тогда сохранят оставшиеся условия (1) и (2). Ясно, что согласованность (1) и (3) требует β9ζs = ζs, где ζs есть один из спиноров, сохраняющих суперсимметрию, то есть все спиноры мы параметризуем 5-компонентным вектором s, каждая из координат которого принимает значения ±½ (и в результате получаем 32-компонентные спиноры ζs, в частности Q = ∑Qsζs, Q′ = ∑Q′sζs), но нас интересуют только те спиноры, которые сохраняют суперсимметрию. Таким образом, количество суперсимметрий уменьшится еще вдвое. Наконец, согласованность (2) и (3) ограничивает число возможных значений ζs в совокупности с условием собственности спинора по отношению к матрице β4 до

$$(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},1),\;(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1),\;(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-1),\;(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},-1),$$

$$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1),\;(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1),\;(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1),\;(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1).$$

Ясно, что 16 возможностей урезаны до 8-ми, ибо теперь только одно собственное значение β4 соответствует данному набору (s1s2s3) вместо двух.

Вот так решаются задачи подобного характера.

Ключевые слова: задачи, суперсимметрия, D браны | Комментарии (9)