Заметки о теоретической физике → 2011 → 02 → 13
Михаил Гойхман

Бозонная струна

13 февраля 2011 года, 20:14

Что рассматривается в этом посте

В этом посте предоставляется обзор бозонной струны. Изложение в большей степени подчеркивает общие черты физики теории без дальнейших деталей. Любые детали можно либо найти в литературе либо уточнить в комментариях.

Литература

В первую очередь рекомендуется пользоваться следующими книгами (первая является обновлением второй):

  • K. Becker, M. Becker, J.H. Shwarz String Theory and M-theory (Modern Introduction),
  • M. Green, J.H. Schwarz, E. Witten Superstring Theory (two volumes).

За дополнительным сведениями и альтернативным к указанному выше изложением можно обращаться к

  • E. Kiritsis String Theory in a Nutshell.

Для получения исчерпывающих сведений по бозонной струне и D-бранам рекомендуется пользоваться

  • J. Polchinski String Theory (two volumes).

Введение

Рассмотрим релятивистскую физическую систему, представляющую собой одномерный объект некоторой (малой) протяженности, возможно замкнутый, — бозонную струну. Пусть этот объект погружен в плоское пространство-время Минковского, которое мы назовем фоновым пространством (или таргет-пространством по причине, описанной ниже). Как и всякая струна, объект характеризуется натяжением, которое мы обозначим через T. Благодаря наличию натяжения струна может колебаться, так что, помимо поступательного движения центра масс, свободная струна характеризуется каким-то колебательным состоянием с энергией колебания, зависящей от натяжения струны. Поскольку мы планируем интерпретировать различные моды колебания струны как различные частицы, в дальнейшем вместо энергии колебания мы рассматриваем массу, очевидно связанную с энергией по формуле Эйнштейна ;) Размерность натяжения есть [T] = L−2, поэтому по порядку величины масса струнных возбуждений будет равна $$\inline M\sim\hbar c\sqrt{T}$$. Разумеется дальше мы считаем ħ = 1.

В теории струн натяжение принято связывать со струнным масштабом расстояний $$\ell _s$$ по формуле $$\inline T=1/\pi\ell _S^2$$ и с параметром Редже α′ по формуле T = 1/2πα′.

Динамика свободной струны

Чтобы описать конкретную динамику струны, можно (даже нужно) воспользоваться лагранжевым формализмом. А именно, мы хотим, чтобы решением уравнений Лагранжа были колебательные состояния струны. Тогда уравнением Лагранжа должно быть волновое уравнение. Когда мы записываем действие, мы интегрируем по пространству-времени, в котором эволюционирует описываемая этим действием система. Что эволюционирует в случае струны? Какие конкретно поля описываются Лагранжианом струны? Так как мы хотим описать, как струна движется в фоновом пространстве-времени, то эти поля есть координаты точек струны в фоновом пространстве. Каждая точка струны характеризуется, в свою очередь, двумя координатами на мировой поверхности струны, заметаемой при ее движении. Мировая поверхность (или мировой лист) — тоже пространство-время, но двумерное, с координатами σ1 = σ, σ2 = τ — собственными пространственными и временными координатами струны. Сравните это с точечной релятивистской частицей, которая, будучи нуль-мерным объектом, имеет только :) собственное время. Это собственное время свободной частицы максимально (вспомните парадокс близнецов), так что действие точечной релятивистской частицы пропорционально интегралу собственного времени с обратным знаком и с коэффициентом — массой (что дает правильное выражение импульса). Как вы можете догадаться, действие для струны тогда должно быть пропорционально площади поверхности мирового листа с обратным знаком и натяжением в качестве множителя (что обобщает массу). Это будет правильная догадка, такое действие называется действием Намбу-Гото и это первое записанное действие релятивистской струны. Это один из независимых подходов приводящих к нужному результату.

Другой подход больше соответствует пути, который мы наметили выше для поиска действия, — поиск на основании колебательных уравнений движения. На таком пути мы получим действие Полякова:

$$S=-\frac{T}{2}\int d^2\sigma\sqrt{-h}h^{\alpha\beta}\partial _\alpha X^\mu\partial _\beta X_\mu{}.$$

Это действие имеет сигма модельный вид с базовым пространством-временем, являющимся мировой поверхностью струны, и таргет пространством-временем Xμ, являющимся фоновым пространством. Это действие также включает метрику на мировом листе hαβ, исключение которой с помощью уравнений движения вернет нас к действию Намбу-Гото. Решением уравнений движения для метрики hαβ является, как можно догадаться,

$$h_{\alpha\beta}=\partial _\alpha X\cdot \partial _\beta X{},$$

где точка означает свертку в таргет пространстве-времени. То есть метрика полностью индуцируется специфическим вложением струны Xμ(στ) в пространство-время.

Выше мы отметили что, решив уравнение движения для метрики на мировом листе, мы можем вернуться к действию Намбу-Гото. Однако это не то, что мы хотим, если нашей целю является квантование струны. Для квантования удобней пользоваться действием Полякова, найти импульсы, канонически сопряженные полям Xμ(σα), записать скобки Пуассона и перейти к коммутационным соотношениям: записать коммутационные соотношения для амплитуд Фурье, то есть ввести операторы рождения и уничтожения и т. д. Но перед тем как это сделать, нам надо привести действие Полякова к наиболее простому виду. Надо закрепить нединамическое поле hαβ(σ, τ). Это можно сделать, воспользовавшись репараметризационной симметрией на мировой поверхности, то есть группой двумерных диффеоморфизмов (обратите внимание, что действие Полякова ковариантно). Эта симметрия позволяет зафиксировать два из трех независимых параметров метрики hαβ. Можно зафиксировать и третий, если заметить, что действие инвариантно относительно группы локальных рескейлингов метрики (преобразований Вейля) hαβ → Ωhαβ. В результате можно положить метрику на мировом листе равной ηαβ — плоской метрике двумерного пространства-времени. Это называется конформной калибровкой. Уравенения движения струны тогда будут выглядить как

$$(-\partial _\tau ^2+\partial _\sigma ^2)X^\mu=0{},$$

что есть искомое волновое уравнение. Не следует забывать также, что необходимо учесть уравнения движения для поля hαβ. Чтобы их записать, мы должны приравнять вариацию действия по hαβ нулю. Если представить это как

$$T_{\alpha\beta}=\frac{2}{\sqrt{-h}}\frac{\delta S}{\delta h^{\alpha\beta}}=0,$$

то мы получим равенство нулю тензора-энергии импульса. В частности, энергия и импульс — Нетеровские токи, следующие из симметрии трансляции по координатам на мировой поверхности, — равны нулю. Постольку поскольку энергия составляется из энергии колебательного движения и квадрата массы (равного квадрату импульса движения центра масс струны в таргет-пространстве с противоположным знаком), то из равенства нулю полной энергии можно вывести массовую формулу для струны — связь массы струны M с ее колебательным состоянием (число возбуждений равно N; для замкнутой струны число возбуждений решений, зависящих от τ − σ, равно числу возбуждений Ñ решений, зависящих от τ + σ):

αM2 = N − 1 для открытой струны,

αM2 = 4(N − 1) = 4(Ñ − 1) для замкнутой струны.

Квантование

Выше уже отмечались основные этапы канонического квантования струны. Процедура здесь отчасти стандартная. Мы, во-первых, решаем уравнения движения для струны в конформной калибровке, записав самое общее решение в виде суммы ряда Фурье по всем модам, удовлетворяющим граничным условия (замкнутая или открытая струны с граничными условиями Неймана или Дирихле). Затем амплитуды Фурье заменяются на операторы рождения и уничтожения. Тензор энергии-импульса тоже можно разложить в ряд Фурье. Амплитуды Lm этого разложения являются элементами алгебры Вирасоро. Особенностью квантования струны является то, что мы квантуем систему со связями, так что все физические состояния должны удовлетворять условию равенства нулю ТЭИ. Поэтому действие операторов Вирасоро на физических состояниях должно давать ноль. Непротиворечиво можно наложить это условие на половину (то есть на операторы с положительным индексом разложения Фурье) операторов Вирасоро из-за специфики коммутационных соотношений:

$$[L_m,\,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}m(m^2-1),$$

где c есть центральный заряд алгебры Вирасоро, равный D — размерности фонового пространства-времени. Последний член в правой части этой формулы выражает собой конформную аномалию — чисто квантовое явление, естественно означающее нарушение трансляционной симметрии на мировой поверхности (конформной симметрии, генерируемой по теореме Нетер ТЭИ) на квантовом уровне. Чтобы избавиться от конформной симметрии и проквантовать систему со связями ковариантно, в одно и то же время можно ввести духовые поля, фиксирующие конформную калибровку (процедура квантования БРСТ), и потребовать, чтобы полный ТЭИ для струнных полей Xμ и духовых полей равнялся нулю. Вклад духовых полей равен −26, так что только при D = 26 конформная аномалия отсутствует.

Спектр

Допустим, мы канонически проквантовали струну. Каждое квантовое состояния струны получается действием операторов рождения на вакуумное состояние (при действии на которое всеми операторами уничтожения мы получаем ноль). Вместо процедуры БРСТ нагляднее пользоваться квантованием в световом конусе, когда только поперечные амплитуды αi, i = 1, ..., 24, дают вклад в построение спектра, а временная α0 и продольная α25 вклада не дают. В результате довольно легко описать спектр состояний струны.

Рассмотрим для начала открытую струну:

  • $$|0,k\rangle$$ - тахионный вакуум αM2 = −1,
  • $$\alpha^i_{-1}|0,k\rangle$$ - безмассовое векторное поле в представлении SO(24) безмассовой малой группы Лоренца,
  • $$\alpha^i_{-1}\alpha^j_{-1}|0,k\rangle, \alpha^i_{-2}|0,k\rangle$$ — массивное поле со спином 2 в представлении SO(25) (массивной малой группы Лоренца).

И так далее. Вакуумное состояние $$|0,k\rangle$$ есть осцилляторный вакуум, в то время как импульс центра масс, вообще говоря, ненулевой и равен k.

В случае замкнутой струны мы по сути формируем прямое произведение состояний открытой струны построенных с помощью разных повышающих операторов $$\inline \alpha ^i_{-n}$$ и $$\inline \tilde\alpha ^i_{-n}$$:

  • $$|0,k\rangle$$ — тахионный вакуум αM2 = −4,
  • $$|\Omega^{ij}\rangle =\alpha ^i_{-1}\tilde\alpha ^j_{-1}|0,k\rangle$$ — безмассовое поле.

И так далее. Безмассовое состояние Ωij можно разложить на симметричную бесследовую часть — гравитон gij, антисимметичную часть — поле Bij и след — дилатон $$\phi$$.

Имеет смысл предоставить обоснование тому, почему мы так назвали поля спектра колебаний замкнутой струны. Например, откуда мы взяли, что симметричная бесследовая часть состояния Ωij является гравитоном. Хорошо, во-первых это безмассовая частица с двумя симметризованными индексами, каждый из которых находится в представлении малой безмассовой подгруппы SO(24) группы Лоренца таргет-пространства, что совпадает с характеристиками гравитона. Значит, если мы собираемся описать низшие колебания струны в некоторой эффективной теории, то мы должны записать общековариантное действие для полей $$\phi$$, gij, Bij в пространстве-времени. Если ограничиться только полем gij, то простейшим будет действие Эйнштейна, анализируя которое, скажем, в низко-энергетическом пределе, мы можем найти решение, представляющее собой гравитационную волну, находящуюся в представлении группы Лоренца со спином 2, то есть гравитон. Все эти выводы, особенно сведения о том, каким конкретно эффективным действием описываются безмассовые состояния струны, можно получить и строго математически, потребовав зануление бета-функции для струны, что означает отсутствие конформной аномалии и перенормируемость квантовой теории (что мы обеспечили выбором подходящей размерности пространства-времени, и потому для поиска эффективного действия логично воспользоваться таким методом). Для начала нужно модифицировать действие Полякова, записав его в искривленном фоновом пространстве-времени с метрикой gμν:

$$S=-\frac{T}{2}\int d^2\sigma\sqrt{-h}h^{\alpha\beta}g_{\mu\nu}\partial _\alpha X^\mu\partial _\beta X^\nu{}.$$

Бета-функция пропорциональна Римановой кривизне: βμν ~ Rμν, так что равенство нулю бета-функции в точности приводит к уравнению Эйнштейна для свободного гравитационного поля. В этом и состоит, пожалуй, самое удивительное свойство бозонной струны (суперструна расширяет предсказание гравитации до предсказания супергравитации): исходя из простейших соображений струна предсказывает существование гравитации, которая (без учета чисто струнных поправок) описывается уравнениями Эйнштейна.

Ключевые слова: бозонная струна

Комментарии

#1. 15 февраля 2011 года, 23:37. пишет:
Что означает, что действие Полякова имеет сигма-модельный вид?

Почему действие Полякова связано с колебательными уравнениями движения? Я вот смотрю на него и вижу площадь мировой поверхности, о которой шла речь в другом подходе.
#2. 16 февраля 2011 года, 00:12. Михаил Гойхман пишет:
Роман, по своей структуре это действие имеет специальный вид который классифицирован как сигма модель. В случае свободной струны — когда метрика в таргете плоская — это линейная сигма модель. Соот-но искривленный таргет означает нелинейную сигма модель. Так или иначе, общее определение подразумевает то что теория описывает некий набор полей (или суперполей — в случае суперсимметричной сигма модели), принимающих значения в (искривленном)таргет-пространстве. Поля при этом определяются на каком-то базовом многообразии (в данном случае — мировой поверхности), если оно d-мерно, то соответственно имеем d-мерную сигма-модель. Другой пример — N=1 суперсимметричная Кэлерова сигма модель. Это когда в суперполевом действии интегрируется функция N=1 суперполей — Кэлеров потенциал — так что после явного интегрирования по грассмановым координатам получаем компонентное действие с Кэлеровой метрикой в таргет-пространстве — (вообще говоря нелинейную) суперсимметричную сигма модель. Бозонное поле описывается в действии знакомым квадратичным по производным членом.
#3. 16 февраля 2011 года, 00:15. Михаил Гойхман пишет:
Насчет колебательных уравнений движения: да, если метрику h не фиксировать калибровочным преобразованием, то получаем площадь мирового листа. Однако в конформной калибровке h эти уравнения аккуратно приобретают вид 2-мерного волнового уравнения Д'Аламберта. Так что есть основания называть рассматриваемый объект колеблющейся струной.
#4. 7 апреля 2011 года, 22:59. Nikolai пишет:
А почему в открытой струне S0(24) для векторных безмасcовых и S0(25) для массивных со спином 2? Это как для фотонов — поперечность?
#5. 8 апреля 2011 года, 11:20. Михаил Гойхман пишет:
Да, как для фотонов. Безмассовое векторное состояние в D=4 поперечно и имеет группу стабильности SO(2), в то время как массивное может также иметь продольную поляризацию и имеет группу стабильности SO(3) (каждое физическое состояние имееет индекс(ы) в фундаментальном представлении своей группы стабильности ). В D=26 имеем прямой аналог этих фактов.
#6. 11 апреля 2011 года, 00:47. Nikolai пишет:
A. Варьрование по метрике очень похоже на вывод уравнений Эйнштейна.
В результате получится немного другое соотношение для метрики h — с множителем (см. ф-лу (2.1.26) в рус. пер. учебника ГШВ, 1990).
B. Для замкнутой струны — периодические гр. условия (Борна-Кармана) — это не г. у. Дирихле.
Усл. Дирихле (частично), когда по некоторым размерностям концы струны закреплены на
бранах.
C. Удивительно, что центральный заряд алгебру Ли модифицирует в другую алгебру Ли.
То есть квантование «уважает» тождество Якоби для алгебры Ли.
#7. 11 апреля 2011 года, 01:13. Михаил Гойхман пишет:
Nikolai, оно не просто похоже, это в точности вывод уравнений Эйнштейна. С другой стороны в двумерии метрика имеет только одну независимую компоненту — конформный фактор — и он *никак* не ограничивается уравнениями Эйнштейна — можете проверить (думаю в силу конф. инв-ти действия этот факт не должен вызывать удивления).

Для метрики на мировом листе может получиться только одно соотношение — выражение pullback метрики фона с точностью до конформного преобразования (и диффеоморфизмов), это очевидно даже из геометрических соображений — как вы можете получить другую метрику на двумерной поверхности в пространстве вложения? Извините, русской GSW у меня нет и не похоже (как это не странно), чтобы формулы совпадали с предсказаниями. Наверное, у меня другое издание. Если с чем то не согласны, то просто выпишите формулу оттуда.

А кто говорит про условия Дирихле для замкнутой струны? Условия Дирихле — это когда концы закреплены. У замкнутой струны нет концов. Именно имея в виду этот очевидный факт надо рассматривать мое предложение из текста «замкнутая или открытая струны с граничными условиями Неймана или Дирихле».

Алгебра Ли — это векторное пространство с умножением. Добавление туда нового (не являющегося комбинацией старых) элемента — это изменение базиса векторного пространства, поэтому алгебра очевидно меняется. Возьмите u(2). В ней есть центральный заряд u(1), если его убрать, то останется совсем другая алгебра su(2).
#8. 12 апреля 2011 года, 20:19. Nikolai пишет:
С пунктом А я разобрался. По пункту B приношу извинения за невнимательность. По C я имел ввиду, что квантовые аномалии не приводят к другим структурам, скажем, к квантовой алгебре или 3-алгебре.
#9. 12 апреля 2011 года, 20:51. Михаил Гойхман пишет:
3-алгебра — это как в теории Баггера-Ламберта -Густавсона для мембран, да? Я читал об это давно на сайте Любоша Мотла. Но я не знаю детали, ибо теория БЛГ была быстро заменена ABJM, в которой этих конструкций нет, поэтому было неактуально изучать ее. Правда 3-коммутатор в 3-алгебре на сколько я помню не исчезает только если убрать свойство ассоциативности, тогда 3-коммутатор есть сумма 3х 3-ассоциаторов, связанных друг с другом циклической перестановкой. Каждый 3-ассоциатор исчезает если наложить свойство ассоциативности на алгебру.
#10. 17 апреля 2011 года, 23:36. Nikolai пишет:
К сожалению, 3-алгебры пока подробно не изучал.
#11. 25 января 2012 года, 16:40. Игорь пишет:
Вопрос немного не по теме. Читаю лекции Szabo по струнам. Пишет на стр.11 следующее, — применив процедуру Нетер к лагранжиану свободной частицы, получим сохраняющийся ток с уравнением непрерывности точно совпадающим с констрэйнтом $$p^2=-m^2$$. Считаю нетеровский ток, соответствующий репараметризационной симметрии, он в точности равен нулю, это ведь просто гамильтониан получается. Что тогда значит сказанное?
#12. 26 января 2012 года, 01:19. Михаил пишет:
Ну, вообще-то репараметризационная симметрия мировой линии (преобразование $$\tau\rightarrow\tau'(\tau)$$) — это локальная симметрия, и потому утверждать, что ей соответствует какой бы то ни было (ненулевой) нетеровский ток — некорректно. Локальным симметриям соотсветствуют связи (констреинты), которые не выражаются как сохранение тока. Возьмите, например, уравнения Эйнштейна — фактически, это следствие симметрии пространства по отношению к локальной репараметризации. Да, в гравитации тоже Гамильтониан равен нулю, в частности он равен нулю на мировой линии и на мировом листе струны.
#13. 31 января 2012 года, 14:44. Игорь пишет:
Спасибо за ответ.Думал думал. Пытался таки вторую т. Нетер использовать, она вроде даёт как раз соотношения на переменные (книга Коноплева-Попов), однако, пока не получается.
Как же вычислить констрейн только используя локальную симметрию лагранжиана? Неужто надо всегда считать импульс и догадываться что его длина постоянна. А если констрейн имеет более сложное выражение и содержит не только импульсы?
#14. 31 января 2012 года, 14:59. Михаил пишет:
Да, я не помню что когда то находил полезным утверждения вроде «вторая теорема Нетер», хотя такую фразу в цитируемой Вами книжке я видел. Так или иначе, посмотрим как вычислять констреинт, соот-й репараметризационой инвариатности, для релятивистской частицы. Введем вспомогательное поле $$e(\tau)$$ — что-то вроде одномерной метрики (соотвтественно, все что сейчас будет выводится для частицы, аналогичным образом в принципе переформулируемо на любое n-мерное пространство, в частности, n=1+1 мировая поверхность струны, или n=3+1 пространство времени в ОТО и т.д.) — так что действие для частицы есть $$S=\frac{1}{2}\int~d\tau(e^{-1}\dot X^2-m^2e)$$. Если решите $$e(\tau)$$, то получите известное действие $$S=-m\int~ds$$. При репараметризации метрика преобразуется как обычно: $$e(\tau)d\tau=e(\tau')d\tau'$$. Видно, что можно выбрать калибровку, в которой $$e(\tau)$$ равна чему угодно. Запишем уравнение движения $$m^2e^2+\dot X^2=0$$ в калибровке $$e=1$$, и получаем нужный констреинт. Далее, на мировой поверхности аналог $$e(\tau)$$ — это метрика $$h_{\alpha\beta}$$ — вспомогательная метрика, с пом. которой записывается действие Полякова. Если исключите эту метрику с пом. уравнений движения, то вернетесь к действию Намбу-Гото. Видите, да, аналогию с частицей? Конформная калибровка метрики — т.е. $$h_{\alpha\beta}=e^\phi \eta _{\alpha\beta}$$ — это аналог $$e(\tau)=1$$.Великолепно, пишите уравнений движения для метрики на мировой поверхности. Это связи Вирасоро. Т.е. ТЭИ равен нулю, в частности, Гамильтониан равен нулю. Возьмите теперь ОТО. Проварьируйте действие по метрике. Получите $$G_{\mu\nu}=0$$ — уравнения Эйнштейна. Это тоже констреинт. Так что я бы сказал, что введя вспомогательное поле, можно вывести связь.
#15. 12 февраля 2012 года, 19:42. Игорь пишет:
Михаил, я здесь на одном форуме наткнулся на некоторое доказательство перпендикулярности скорости и производной импульса с помощью 2-ой Нетер. При желании его можно интерпретировать как производную от связи. Вы не могли бы оценить его. http://dxdy.ru/topic54380-60.html
#16. 12 февраля 2012 года, 21:07. Михаил пишет:
Я к сожалению действительно не очень хорошо знаком со второй теоремой Нётер. Не думаю, что вам она покажется полезной в теор. физике, как независимое утверждение (мне вот до сих пор ни разу не понадобилась). Но мне кажется, что так или иначе из неё выводятся связи, а $$u_\mu w^\mu=0$$ — это уже производная связи, ну т.е. вы дифференцируете $$u_\mu u^\mu=-1$$ по собственному времени. А связь можно вывести как уравнение движения для вспомогательного поля.

Оставьте свой комментарий

Ваше имя:

Комментарий:

Формулы на латехе: $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$ превратится в $$f(x) = x^2-\sqrt{x}$$.
Для выделения используйте следующий код: [i]курсив[/i], [b]жирный[/b].
Цитату оформляйте так: [q = имя автора]цитата[/q] или [q]еще цитата[/q].
Ссылку начните с http://. Других команд или HTML-тегов здесь нет.

Сколько будет 40+9?