Заметки о теоретической физике → 2011 → 02
Михаил Гойхман

Бозонная струна

13 февраля 2011 года, 20:14

Что рассматривается в этом посте

В этом посте предоставляется обзор бозонной струны. Изложение в большей степени подчеркивает общие черты физики теории без дальнейших деталей. Любые детали можно либо найти в литературе либо уточнить в комментариях.

Литература

В первую очередь рекомендуется пользоваться следующими книгами (первая является обновлением второй):

  • K. Becker, M. Becker, J.H. Shwarz String Theory and M-theory (Modern Introduction),
  • M. Green, J.H. Schwarz, E. Witten Superstring Theory (two volumes).

За дополнительным сведениями и альтернативным к указанному выше изложением можно обращаться к

  • E. Kiritsis String Theory in a Nutshell.

Для получения исчерпывающих сведений по бозонной струне и D-бранам рекомендуется пользоваться

  • J. Polchinski String Theory (two volumes).

Введение

Рассмотрим релятивистскую физическую систему, представляющую собой одномерный объект некоторой (малой) протяженности, возможно замкнутый, — бозонную струну. Пусть этот объект погружен в плоское пространство-время Минковского, которое мы назовем фоновым пространством (или таргет-пространством по причине, описанной ниже). Как и всякая струна, объект характеризуется натяжением, которое мы обозначим через T. Благодаря наличию натяжения струна может колебаться, так что, помимо поступательного движения центра масс, свободная струна характеризуется каким-то колебательным состоянием с энергией колебания, зависящей от натяжения струны. Поскольку мы планируем интерпретировать различные моды колебания струны как различные частицы, в дальнейшем вместо энергии колебания мы рассматриваем массу, очевидно связанную с энергией по формуле Эйнштейна ;) Размерность натяжения есть [T] = L−2, поэтому по порядку величины масса струнных возбуждений будет равна $$\inline M\sim\hbar c\sqrt{T}$$. Разумеется дальше мы считаем ħ = 1.

В теории струн натяжение принято связывать со струнным масштабом расстояний $$\ell _s$$ по формуле $$\inline T=1/\pi\ell _S^2$$ и с параметром Редже α′ по формуле T = 1/2πα′.

Динамика свободной струны

Чтобы описать конкретную динамику струны, можно (даже нужно) воспользоваться лагранжевым формализмом. А именно, мы хотим, чтобы решением уравнений Лагранжа были колебательные состояния струны. Тогда уравнением Лагранжа должно быть волновое уравнение. Когда мы записываем действие, мы интегрируем по пространству-времени, в котором эволюционирует описываемая этим действием система. Что эволюционирует в случае струны? Какие конкретно поля описываются Лагранжианом струны? Так как мы хотим описать, как струна движется в фоновом пространстве-времени, то эти поля есть координаты точек струны в фоновом пространстве. Каждая точка струны характеризуется, в свою очередь, двумя координатами на мировой поверхности струны, заметаемой при ее движении. Мировая поверхность (или мировой лист) — тоже пространство-время, но двумерное, с координатами σ1 = σ, σ2 = τ — собственными пространственными и временными координатами струны. Сравните это с точечной релятивистской частицей, которая, будучи нуль-мерным объектом, имеет только :) собственное время. Это собственное время свободной частицы максимально (вспомните парадокс близнецов), так что действие точечной релятивистской частицы пропорционально интегралу собственного времени с обратным знаком и с коэффициентом — массой (что дает правильное выражение импульса). Как вы можете догадаться, действие для струны тогда должно быть пропорционально площади поверхности мирового листа с обратным знаком и натяжением в качестве множителя (что обобщает массу). Это будет правильная догадка, такое действие называется действием Намбу-Гото и это первое записанное действие релятивистской струны. Это один из независимых подходов приводящих к нужному результату.

Другой подход больше соответствует пути, который мы наметили выше для поиска действия, — поиск на основании колебательных уравнений движения. На таком пути мы получим действие Полякова:

$$S=-\frac{T}{2}\int d^2\sigma\sqrt{-h}h^{\alpha\beta}\partial _\alpha X^\mu\partial _\beta X_\mu{}.$$

Это действие имеет сигма модельный вид с базовым пространством-временем, являющимся мировой поверхностью струны, и таргет пространством-временем Xμ, являющимся фоновым пространством. Это действие также включает метрику на мировом листе hαβ, исключение которой с помощью уравнений движения вернет нас к действию Намбу-Гото. Решением уравнений движения для метрики hαβ является, как можно догадаться,

$$h_{\alpha\beta}=\partial _\alpha X\cdot \partial _\beta X{},$$

где точка означает свертку в таргет пространстве-времени. То есть метрика полностью индуцируется специфическим вложением струны Xμ(στ) в пространство-время.

Выше мы отметили что, решив уравнение движения для метрики на мировом листе, мы можем вернуться к действию Намбу-Гото. Однако это не то, что мы хотим, если нашей целю является квантование струны. Для квантования удобней пользоваться действием Полякова, найти импульсы, канонически сопряженные полям Xμ(σα), записать скобки Пуассона и перейти к коммутационным соотношениям: записать коммутационные соотношения для амплитуд Фурье, то есть ввести операторы рождения и уничтожения и т. д. Но перед тем как это сделать, нам надо привести действие Полякова к наиболее простому виду. Надо закрепить нединамическое поле hαβ(σ, τ). Это можно сделать, воспользовавшись репараметризационной симметрией на мировой поверхности, то есть группой двумерных диффеоморфизмов (обратите внимание, что действие Полякова ковариантно). Эта симметрия позволяет зафиксировать два из трех независимых параметров метрики hαβ. Можно зафиксировать и третий, если заметить, что действие инвариантно относительно группы локальных рескейлингов метрики (преобразований Вейля) hαβ → Ωhαβ. В результате можно положить метрику на мировом листе равной ηαβ — плоской метрике двумерного пространства-времени. Это называется конформной калибровкой. Уравенения движения струны тогда будут выглядить как

$$(-\partial _\tau ^2+\partial _\sigma ^2)X^\mu=0{},$$

что есть искомое волновое уравнение. Не следует забывать также, что необходимо учесть уравнения движения для поля hαβ. Чтобы их записать, мы должны приравнять вариацию действия по hαβ нулю. Если представить это как

$$T_{\alpha\beta}=\frac{2}{\sqrt{-h}}\frac{\delta S}{\delta h^{\alpha\beta}}=0,$$

то мы получим равенство нулю тензора-энергии импульса. В частности, энергия и импульс — Нетеровские токи, следующие из симметрии трансляции по координатам на мировой поверхности, — равны нулю. Постольку поскольку энергия составляется из энергии колебательного движения и квадрата массы (равного квадрату импульса движения центра масс струны в таргет-пространстве с противоположным знаком), то из равенства нулю полной энергии можно вывести массовую формулу для струны — связь массы струны M с ее колебательным состоянием (число возбуждений равно N; для замкнутой струны число возбуждений решений, зависящих от τ − σ, равно числу возбуждений Ñ решений, зависящих от τ + σ):

αM2 = N − 1 для открытой струны,

αM2 = 4(N − 1) = 4(Ñ − 1) для замкнутой струны.

Квантование

Выше уже отмечались основные этапы канонического квантования струны. Процедура здесь отчасти стандартная. Мы, во-первых, решаем уравнения движения для струны в конформной калибровке, записав самое общее решение в виде суммы ряда Фурье по всем модам, удовлетворяющим граничным условия (замкнутая или открытая струны с граничными условиями Неймана или Дирихле). Затем амплитуды Фурье заменяются на операторы рождения и уничтожения. Тензор энергии-импульса тоже можно разложить в ряд Фурье. Амплитуды Lm этого разложения являются элементами алгебры Вирасоро. Особенностью квантования струны является то, что мы квантуем систему со связями, так что все физические состояния должны удовлетворять условию равенства нулю ТЭИ. Поэтому действие операторов Вирасоро на физических состояниях должно давать ноль. Непротиворечиво можно наложить это условие на половину (то есть на операторы с положительным индексом разложения Фурье) операторов Вирасоро из-за специфики коммутационных соотношений:

$$[L_m,\,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}m(m^2-1),$$

где c есть центральный заряд алгебры Вирасоро, равный D — размерности фонового пространства-времени. Последний член в правой части этой формулы выражает собой конформную аномалию — чисто квантовое явление, естественно означающее нарушение трансляционной симметрии на мировой поверхности (конформной симметрии, генерируемой по теореме Нетер ТЭИ) на квантовом уровне. Чтобы избавиться от конформной симметрии и проквантовать систему со связями ковариантно, в одно и то же время можно ввести духовые поля, фиксирующие конформную калибровку (процедура квантования БРСТ), и потребовать, чтобы полный ТЭИ для струнных полей Xμ и духовых полей равнялся нулю. Вклад духовых полей равен −26, так что только при D = 26 конформная аномалия отсутствует.

Спектр

Допустим, мы канонически проквантовали струну. Каждое квантовое состояния струны получается действием операторов рождения на вакуумное состояние (при действии на которое всеми операторами уничтожения мы получаем ноль). Вместо процедуры БРСТ нагляднее пользоваться квантованием в световом конусе, когда только поперечные амплитуды αi, i = 1, ..., 24, дают вклад в построение спектра, а временная α0 и продольная α25 вклада не дают. В результате довольно легко описать спектр состояний струны.

Рассмотрим для начала открытую струну:

  • $$|0,k\rangle$$ - тахионный вакуум αM2 = −1,
  • $$\alpha^i_{-1}|0,k\rangle$$ - безмассовое векторное поле в представлении SO(24) безмассовой малой группы Лоренца,
  • $$\alpha^i_{-1}\alpha^j_{-1}|0,k\rangle, \alpha^i_{-2}|0,k\rangle$$ — массивное поле со спином 2 в представлении SO(25) (массивной малой группы Лоренца).

И так далее. Вакуумное состояние $$|0,k\rangle$$ есть осцилляторный вакуум, в то время как импульс центра масс, вообще говоря, ненулевой и равен k.

В случае замкнутой струны мы по сути формируем прямое произведение состояний открытой струны построенных с помощью разных повышающих операторов $$\inline \alpha ^i_{-n}$$ и $$\inline \tilde\alpha ^i_{-n}$$:

  • $$|0,k\rangle$$ — тахионный вакуум αM2 = −4,
  • $$|\Omega^{ij}\rangle =\alpha ^i_{-1}\tilde\alpha ^j_{-1}|0,k\rangle$$ — безмассовое поле.

И так далее. Безмассовое состояние Ωij можно разложить на симметричную бесследовую часть — гравитон gij, антисимметичную часть — поле Bij и след — дилатон $$\phi$$.

Имеет смысл предоставить обоснование тому, почему мы так назвали поля спектра колебаний замкнутой струны. Например, откуда мы взяли, что симметричная бесследовая часть состояния Ωij является гравитоном. Хорошо, во-первых это безмассовая частица с двумя симметризованными индексами, каждый из которых находится в представлении малой безмассовой подгруппы SO(24) группы Лоренца таргет-пространства, что совпадает с характеристиками гравитона. Значит, если мы собираемся описать низшие колебания струны в некоторой эффективной теории, то мы должны записать общековариантное действие для полей $$\phi$$, gij, Bij в пространстве-времени. Если ограничиться только полем gij, то простейшим будет действие Эйнштейна, анализируя которое, скажем, в низко-энергетическом пределе, мы можем найти решение, представляющее собой гравитационную волну, находящуюся в представлении группы Лоренца со спином 2, то есть гравитон. Все эти выводы, особенно сведения о том, каким конкретно эффективным действием описываются безмассовые состояния струны, можно получить и строго математически, потребовав зануление бета-функции для струны, что означает отсутствие конформной аномалии и перенормируемость квантовой теории (что мы обеспечили выбором подходящей размерности пространства-времени, и потому для поиска эффективного действия логично воспользоваться таким методом). Для начала нужно модифицировать действие Полякова, записав его в искривленном фоновом пространстве-времени с метрикой gμν:

$$S=-\frac{T}{2}\int d^2\sigma\sqrt{-h}h^{\alpha\beta}g_{\mu\nu}\partial _\alpha X^\mu\partial _\beta X^\nu{}.$$

Бета-функция пропорциональна Римановой кривизне: βμν ~ Rμν, так что равенство нулю бета-функции в точности приводит к уравнению Эйнштейна для свободного гравитационного поля. В этом и состоит, пожалуй, самое удивительное свойство бозонной струны (суперструна расширяет предсказание гравитации до предсказания супергравитации): исходя из простейших соображений струна предсказывает существование гравитации, которая (без учета чисто струнных поправок) описывается уравнениями Эйнштейна.

Ключевые слова: бозонная струна | Комментарии (16)
Михаил Гойхман

Задача по конформной теории поля

15 февраля 2011 года, 20:46

В прошлом семестре я рассказывал на лекциях конформную теорию поля, в особенности в применении к теории струн, то есть d = 2 CFT. Рассказ велся по материалам гл. 3 BBS. Информации, которую я тогда предоставил слушателям, вполне достаточно, чтобы доказать следующую (известную) теорему.

Пусть действие некоторой d-мерной CFT обладает глобальной симметрией с током Jμ. Тогда оператор Jμ с необходимостью имеет конформную размерность d − 1.

Докажите эту теорему ;)

Ключевые слова: задачи, конформная теория поля | Комментарии (2)
Михаил Гойхман

Atchoo! Theory

15 февраля 2011 года, 23:43

This may entertain you. Links on that site are working and will lead you to funny subsections.

Check out this one for example.

Via Luboš Motl

Ключевые слова: юмор | Оставить комментарий
Михаил Гойхман

Пример нахождения суперсимметрий, сохраняющихся при данной конфигурации D-бран

17 февраля 2011 года, 01:06

Ранее я опубликовал задачу, в которой требовалось найти суперсимметрии, сохраняемые данной конфигурацией D-бран. В этом посте рассмотрим похожую задачу. А именно, найдем суперсимметрии сохраняемые конфигурацией D2-D6-NS5-KK; где D2-брана (индексуемая как объект 1) имеет продольные направления (49), D6-брана (объект 2) — (456789), NS5-брана (объект 3) — (45678) и KK возбуждение (объект 4) имеется в направлении 4.

Тогда суперсимметрии, сохраняемые D2-браной, даются выражением

$$Q_1 = Q + \beta \beta ^5 \beta ^6 \beta ^7 \beta ^8 Q' .$$

D6-браной:

$$Q_2 = Q + \beta Q'.$$

KK модой:

$$Q_4 = Q + \beta\beta^5 \beta^6 \beta ^7 \beta ^8 \beta ^9 Q' .$$

Здесь используется обозначение β = β1β2β3. При этом NS5-брана, будучи S-дуальным объектом к фундаментальной струне, сохраняет все суперсимметрии.

Далее введем 5 матриц S, строящих представление алгебры Дирака в D = 10 пространстве-времени (см. Polchinski, String Theory, vol. II, App. B):

$$2iS_a=\beta ^{2a}\beta ^{2a+1}$$

Тогда получим

$$Q_1=Q+8i\beta\beta ^4S_2S_3S_4\beta ^9 Q^{\prime},$$(1)

$$Q_2= Q+\beta Q^{\prime},$$(2)

$$Q_4=Q+8i\beta\beta ^4S_2S_3S_4 Q^{\prime}.$$(3)

Очевидно, что каждое из условий нарушает половину суперсимметрий исходной N = 2 суперсимметричной теории. Так что начнем с условия (3), которое нарушит половину суперсимметрий, и посмотрим, какие суперсимметрии тогда сохранят оставшиеся условия (1) и (2). Ясно, что согласованность (1) и (3) требует β9ζs = ζs, где ζs есть один из спиноров, сохраняющих суперсимметрию, то есть все спиноры мы параметризуем 5-компонентным вектором s, каждая из координат которого принимает значения ±½ (и в результате получаем 32-компонентные спиноры ζs, в частности Q = ∑Qsζs, Q′ = ∑Q′sζs), но нас интересуют только те спиноры, которые сохраняют суперсимметрию. Таким образом, количество суперсимметрий уменьшится еще вдвое. Наконец, согласованность (2) и (3) ограничивает число возможных значений ζs в совокупности с условием собственности спинора по отношению к матрице β4 до

$$(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},1),\;(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1),\;(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-1),\;(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},-1),$$

$$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1),\;(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1),\;(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1),\;(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1).$$

Ясно, что 16 возможностей урезаны до 8-ми, ибо теперь только одно собственное значение β4 соответствует данному набору (s1s2s3) вместо двух.

Вот так решаются задачи подобного характера.

Ключевые слова: задачи, суперсимметрия, D браны | Комментарии (9)
Михаил Гойхман

Как посчитать число суперсимметрий, сохраняемых данной конфигурацией Dp-бран и M2-бран

18 февраля 2011 года, 23:06

Более ранние посты на эту тему можно найти здесь и здесь. Вопросы со стороны читателей побудили меня написать эту дополнительную заметку.

1. Итак, задача состоит в том, чтобы найти число суперсимметрий, то есть долю исходных суперсимметрий теории , которая сохраняется неким решением теории, представляющим собой определенную конфигурацию (мем)бран. При этом помимо решений типа «набор (мем)бран в плоском пространстве-времени» можно рассматривать еще решения типа «набор мембран в пространстве-времени, компактифицированном на Риччи-плоское многообразие». Сразу хочу заметить, что условие Риччи-плоскосности берется из того, чтобы такой вакуум удовлетворял уравнениям супергравитации в D = 10 (D = 11) пространстве-времени (для интересующихся — да, космологическая постоянная равна нулю, но если вы допускаете ненулевой поток RR полей через компактное многообразие (flux compactification, потоковая компактификация), то в некомпактной части генерируется космологическая постоянная).

2. Начну сразу с выводов, которые доказываются в остальной части этого поста. Существует несколько связанных друг с другом способов определить число сохраняющихся суперсимметрий:

  1. Прямой подсчет спиноров сохраняющихся данной конфигурацией Dp-бран. При этом используется формула (см. ниже) для суперсимметрий, сохраняющихся любой данной Dp-браной, и потом, с помощью этой формулы, анализируется какие спиноры удовлетворяют всем формулам одновременно.
  2. Использование того факта, что Dp-браны и M2-браны являются BPS-объектами. Это означает, что их масса равна центральному заряду (зарядам) алгебры суперсимметрий, что есть условие стабильности, как я доказал в пункте 4 здесь. В свою очередь условие BPS, как видно (см. ниже) из супералгебры, оставляет только половину суперзарядов, аннигилирующих данное решение, т.е. являющихся суперсимметриями. Комбинация условий для разных (мем)бран позволяет выяснить, какие суперсимметрии сохраняются всеми присутствующими (мем)бранами.
  3. Каппа-симметрия действия. Это то же, что имеется и в действии суперструны GS, и где она тоже снижает количество динамических фермионов. Однако в случае солитонных (мем)бран это условие позволяет воздействовать на половину всех компонент спинора, и потому супервариация половины компонент оказывется полностью компенсируемой каппа-преобразованием, то есть (мем)бранный солитон оказывется наполовину суперсимметричен.

Вс три условия, если подумать, имеют одну и ту же причину.

2. Не стоит ожидать, что данная конфигурация (мем)бран сохранит все исходные суперсимметрии. Исходные суперсимметрии — это:

  • $${\cal N}$$ = 2, D = 10 SUSY в теории суперструн типа-II (2×16 = 32 суперзаряда)
  • $${\cal N}$$ = 1, D = 10 SUSY в теории суперструн типа-I (16 суперзарядов)
  • $${\cal N}$$ = 1, D = 11 SUSY в одиннадцати-мерной супергравитации и M-теории (32 суперзаряда)

Хочу подчеркнуть, что указанные здесь суперсимметрии $${\cal N}$$ = 2 в D = 10 и $${\cal N}$$ = 1 в D = 11 — обе с 32 суперзарядами — являются максимально возможными суперсимметриями в природе, ибо порождают наиболее длинный диапазон проекций киральностей от −2 до +2 (до гравитона), не выходя при этом к высшим спинам.

3. Простейший пример нарушения числа суперсимметрий — это переход от теории суперструн типа-II к теории суперструн типа-I. Это то же самое что и переход от теории с только замкнутыми струнами к теории с и замкнутыми и открытыми струнами. Почему? Теория суперструн типа-II описывает динамику замкнутых струн, которые допускают 2 независимых граничных условия, в отличии от открытых струн. Действительно, в случае открытых струн мы имеем два независимых конца, на каждом из которых независимо должны выполняться граничные условия. В простейшем случае можно записать GS суперструну в калибровке светового конуса, где мы вообще говоря имеем два 8-компонентных М.-В. спинора S1, S2. Эти спиноры входят в действие суперструны через свободные Дираковские члены, поэтому инвариантность действия по отношению к SUSY требует выполнения граничных условий

$$S^1|_{\sigma=0}=S^2|_{\sigma=0}\,,\quad\quad S^1|_{\sigma=\pi}=S^2|_{\sigma=\pi},$$

как видите — независимых на концах струны. Каждый из двух М.-В. спиноров подвергается действию преобразований суперсимметрии с постоянными параметрами ε1 и ε2, соответственно. Но из-за граничных условий, а именно из требования их суперсимметричности, мы получаем условие ε1 = ε2, и потому теория, содержащая открытые струны, не может быть теорией суперструн типа-II, т.е. она не может быть $${\cal N}$$ = 2 суперсимметричной. В отличии от теории суперструн, содержащей содержащей только замкнутые струны. В такой теории мы просто имеем граничные условия

$$S^{1,2}(\sigma,\tau)=S^{1,2}(\sigma+\pi,\tau),$$

которые записываются независимо для обеих $${\cal N}$$ = 1 суперсимметрий, и потому обе подразумеваются независимо.

4. Какое отношение предыдущий пункт имеет к Dp-бранам? Пусть мы начинаем с теории суперструн типа-II, с 2×16=32 суперсимметриями, реализуемыми двумя Майорана-Вейлевскими 16-компонентными спинорами Q, Q′ десятимерной алгебры Дирака. Хорошо, тогда мы имеем право посмотреть, какой спектр у нашей теории. Посмотрим на самый нижний, безмассовый уровень. Мы получаем 64 бозонных степени свободы из мультиплета гравитации (гравитон, B2 и дилатон), 2×(56+8)=128 степеней свободы гравитино и дилатино и 64 бозонных состояния биспинорного происхождения. Эти биспинорные состояния разбиваются не неприводимые представления малой группы Лоренца (безмассовой группы стабильности SO(8)), являющиеся отдельными полями, p-формами Cp+1. В отличии от 64 гравитационных бозонных собратьев, взаимодействующих с фундаментальными струнами (просто создавая для них искривленный пространственно-временной фон), эти RR-поля не взаимодействуют с фундаментальными струнами таким нелинейно-сигма-модельным способом. Вместо этого они взаимодействуют с соответствующими Dp-бранами, прикрепляясь к их мировому объему:

$$S_{int}\sim\int C_{p+1}$$

Являются ли тогда Dp-браны дополнительными, независимыми от струн объектами, которые мы должны ввести руками для того, чтобы нашим RR-полям было с кем взаимодействовать? Напротив! Наше рассуждение как раз показывает, что Dp-браны — это продукт замкнутых струн. Действительно, подобное введение Dp-бран — как источника RR-полей — по сути означает, что Dp-браны взаимодействуют с окружающими объектами с помощью этих самых RR-полей, которые в свою очередь являются модами замкнутых струн. Таким образом все эффекты Dp-бран на фундаментальном уровне сводятся к замкнутым струнам, и потому Dp-браны сделаны из замкнутых струн.

Далее, Dp-браны, представляющие собой таким образом солитонные решения теории замкнутых струн, т.е. теории суперструн типа-II, являются, в силу своего механизма взаимодействия с RR-полями, протяженными объектами. Тогда их можно использовать как фиксатор граничных условий для открытых струн. Динамика открытых струн с фиксированными граничными условиями (условиями Дирихле) теперь обретает физический смысл и перестает нарушать закон сохранения импульса (симметрию трансляций). Колебания открытых струн теперь согласуются с «колебаниями» Dp-бран, к которым они прикрепляются. Тогда динамика Dp-бран есть динамика открытых струн, причем Dp-браны есть источники для замкнутых струн (источники для RR-полей, являющихся модами замкнутых струн).

Но подождите, откуда у нас взялись открытые струны? Ведь мы рассматривали теорию типа-II, а там разрешены только замкнутые струны. Однако, когда в нашей теории появились Dp-браны, нам потребовалось описывать их динамику. В силу сказанного в предыдущем абзаце это делается с помощью открытых струн, которые прикрепляются к этим бранам. Если у нас есть Dp-браны, то у нас необходимо есть открытые струны. И тогда суперсимметрия автоматически падает до $${\cal N}$$ = 1.

5. Как именно? Чтобы это уточнить можно воспользоваться T-дуальностью и начать с того случая, когда все открытые струны удовлетворяют граничным условиям Неймана. Это означает, что эти открытые струны просто оканчиваются на D9-бране, заполняющей все пространство-время. Число сохраняемых суперсимметрий при этом равно, очевидно Q+Q′ . Далее мы совершаем преобразование T-дуальности в неком компактном направлении. В результате в этом самом направлении граничные условия открытых струн становятся фиксированными условиями Дирихле, и потому происходит переход от исходной D9-браны к D8-бране: одно из пространственных измерений браны сворачивается в точку (на том самом компактном одномерном многообразии, вдоль которого мы совершили преобразование T-дуальности). И так далее. С помощью достаточного числа T-дуальностей можно получить любую Dp-брану. Конечно, вопрос в том, будет ли она стабильна в данной теории суперструн. Но у нас другая задача — даны стабильные  браны и нужно определить, сколько они сохраняют суперсимметрий. Когда мы совершаем преобразование T-дуальности в направлении ν, правый суперзаряд Q′ подвергается преобразованию (следствие суперсимметрии, а именно ковариантности преобразований суперсимметрии по отношению к T-дуальности)

$$Q'\rightarrow\Gamma\Gamma^\nu Q',$$

где $$\Gamma$$ — киральная матрица Дирака из D = 10 алгебры Дирака. Тогда после совершения 9−p преобразований дуальности мы получим следующий набор суперсимметрий, сохраняемых полученной в результате Dp-браной:

$$Q+\prod\beta^\nu Q',$$

где я обозначил βν=ΓΓν,  и произведение берется по всем 9-p направлениям, ортогональным Dp-бране.

С помощью выведенной формулы уже можно производить конкретные расчеты в D=10 теории суперструн и находить в результате число суперсимметрий, сохраняемых любой данной конфигурацией Dp-бран.

6. А как же M-теория? Там нет открытых струн. Там вообще нет струн. Фундаментальным объектом там является M2-брана и магнитно-сопряженная к ней M5-брана. Разумеется, при редукции к десятимерной теории должны вопроизводиться указанные выше результаты теории суперструн. Но число суперсимметрий можно также посчитать, исходя из требования суперсимметричности вакуумного решения теории, то есть найдя число суперзарядов, аннигилирующих вакуум D = 11 супергравитации, представляющий собой данную конфигурацию мембран.

Будем следовать лекциям P. Townsend «M-theory from its superalgebra».

В D=11 спиноры могут быть Майорановскими, но не могут быть Вейлевскими. В каком случае спиноры не могут быть Вейлевскими? В том если киральная матрица

$$\Gamma=\Gamma^0\Gamma^1\cdots\Gamma^{D-1}$$

пропорциональна единичной и потому не может разбить спинорное представление группы Лоренца не неприводимые представления разной киральности с помощью оператора проекции P = (1+Γ)/2. Именно такая сиуация имеет место в D = 3 тоже, где Γ0 = 2Γ1 = σ1, Γ2 = σ3, и в силу того, что произведение трех матриц Паули дает матрицу пропорциональную единичной (кватернионное свойство), киральную матрицу построить невозможно. В высших размерностях алгебры Дирака строятся грубо говоря прямым произведением алгебр из низшей размерности, поэтому нетрудно сделать вывод о том, что D = 11 допускает аналогичную ситуацию, что и D = 3. Так что киральную матрицу просто считаем равной единице.

Итак, мы имеем 32-компонетный Майорановский суперзаряд Qα, удовлетворяющий антикоммутационным соотношению алгебры суперсимметрии:

$$\{Q_\alpha,\,Q_\beta\}=(\Gamma^0\Gamma ^M)_{\alpha\beta}P_M.$$

Если у нас есть некое состояние, сохраняющее часть суперсимметрий, то это состояние необходимо безмассовое, что есть простейший пример насыщения BPS-ограничения. Действительно, сохранение части суперсимметрий данным состоянием означает то, что эта часть суперсимметрий не меняет данного состояния, что в свою очередь означает, что соответсвующие суперзаряды имеет данное состояние в качестве собственного состояния с нулевым собственным значением. Но тогда в силу алгебры суперсимметрии получаем, что матрица Γ·P вырожденная, поэтому ее детерминант равен нулю, следовательно P2 = 0. С помощью симметрии вращений пространства мы можем выбрать импульс центра масс системы равным

$$P_M=\frac{1}{2}(-1,\pm 1,0,\dots,0),$$

и в результате антикомматационное соотношение алгебры суперсимметрии запишется в виде

$$\{Q_\alpha,\,Q_\beta\}=\frac{1}{2}(1\mp\Gamma_{01})_{\alpha\beta}.$$

В результате мы заключаем, что только половина суперсимметрий, определяемых условием

$$\Gamma_{01}\varepsilon=\pm\varepsilon$$

являются симметрией данного решения D = 11 супергравитации.

Это универсальное рассуждение применимо в частности к решению супергравитации, являющимся M2-браной. Поэтому каждая M2-брана сохраняет половину суперсимметрий, получаемых проецированием исходного спинорного параметра суперсимметрии посредством оператора Pab = (1±Γab)/2, где Xa, Xb есть направления, в которых растягивается рассматриваемая солитонная M2-брана. Соответственно, если у нас есть несколько мембран, то необходимо подействовать произведением всех таких проекционных операторов на исходный параметр суперсимметрии ε.

Пример.

Допустим, у нас есть три M2-бран в направлениях (12), (34), (56). Число сохраняемых суперсииметрий таким солитонным решением D = 11 супергравитации равно 32/8 = 4, ибо это как раз число независимых компонент спинора

$$P_{12}P_{34}P_{56}\varepsilon$$

где 32 есть число компонент Майорановского спинора ε.

7. Можно ли провести связь между методом вычисления суперсимметрий по формуле для Dp-бран и указанным методом для M2-бран? Конечно же можно! Ведь рассуждение для D = 11 теории можно дословно переписать для Майорана-Вейлевских спиноров D = 10 теории. В результате мы получим совершенно тот же самый ответ. Действительно, вернемся опять к примеру из конца предыдущего пункта. Но на этот раз будем анализировать его методом Dp-бран. Т.е. суперзаряд, сохраняемый данной M2-браной с пространственными направлениями (ab), равен

$$Q+4\beta S^aS^bQ'.$$

В D=11 оба спинора Q, Q' Майорановские и равны друг другу, поэтому на самом деле имеем

$$(1+4\beta S^aS^b)Q.$$

Здесь (см. пример конкретного решения тутβ=β7β8β9β10, Sa2a-1β2a

Тогда ясно, что суперзаряды, сохраняемые всеми M2-бранами определяются условием

$$S^1S^2Q=S^3S^4Q=S^5S^6Q,$$

что в силу определения Sa можно переписать как

$$Q_p=P_{12}P_{34}P_{56}Q.$$

8. Действие для (мем)бран и аргументы с каппа-симметрией полностью формализуют все сказанное выше для описания системы вне массовой оболочки. Напомню сперва, что для равенства числа динамических бозонных и фермионных степеней свободы в теории суперструн Грина-Шварца, в теории Dp-бран и в M-теории вводится механизм калибрования части фермионных степеней свободы с помощью κ-симметрии. Возьмите, например, суперструну Грина-Шварца. Изначально она имеет 32 фермионные степени вободы, что есть сумма независимых компонент двух М.-В. спиноров в D=10. Мы знаем, что число динамических бозонных степеней свободы равно 8, что есть 10 координат таргет-пространства-времени минус 2 продольные и временные компоненты, исключаемые бозонными связями Вирасоро. Далее, уравнение Дирака сокращает число фермионных степеней свободы вдвое, оставляя нас с 16 фермионами. Однако, для суперсимметричности нам нужно убрать еще половину фермионов. Это достигается с помощью κ-симметрии. Чтобы действие было инвариантно относительно κ-симметрии нужно к обычному действию суперсимметричной сигма-модели, описывающей струну Грина-Шварца (или (мем)брану), добавить еще член Весса-Зумино, суперсимметричный сам по себе. В случае Dp-бран или мембран надо дабавить член Черна-Саймонса.

В результате действие Dp-бран и M2-бран (и суперструн) приобретает помимо суперсимметрии

$$\delta_\varepsilon\Theta=\varepsilon\,,\quad\delta_\varepsilon X^M=i\bar\varepsilon\Gamma^M\Theta$$

еще свойство инвариантности относительно локальной κ-симметрии:

$$\delta _\kappa\Theta=2P_+\kappa(\sigma)\,,\quad\delta _\kappa X^M=2i\bar\Theta\Gamma^M P_+\kappa(\sigma).$$ 

Здесь введен проекционный оператор

$$P_+=\frac{1}{2}\left(1+\frac{i}{6}\epsilon^{\alpha\beta\gamma}\partial_\alpha X^M\partial_\beta X^N\partial_\gamma X^P\Gamma_{MNP}\right),$$

где греческие индексы соответсвуют координатам, параметризующим мировой объем (мем)браны. В нашем случае мы выбираем статическую параметризацию, когда часть координат бозонного таргет-пространства параметризуют мировой объем (мем)браны. В результате для M2-браны в направлениях (ab) мы получим

$$P_+=\frac{1}{2}(1+\Gamma_{ab}),$$

т.е. ту же формулу для проекционного оператора, что и раньше. Осталось выяснить, почему именно этот проекционный оператор выделяет сохраняющиеся суперсимметрии. Фактически, это уже самоочевидно: данная конфигурация (мем)бран сохраняет суперсимметрии, если она инвариантна относительно действия этих суперсимметрий. Классический фон подразумевает равенство всех фермионов нулю, сохранение этого условия означает

$$(\delta_\varepsilon+\delta_\kappa)\Theta=\varepsilon+2P_+\kappa=0,$$

следовательно

$$P_-\varepsilon=0.$$

В свою очередь равенство нулю фермионов гарантирует инвариантность бозонного фона, т.е. самой пространственно-временной конфигурации. 

Ключевые слова: суперсимметрия, D браны, задачи, M-теория | Комментарии (1)
Михаил Гойхман

Детальный разбор комикса

25 февраля 2011 года, 21:55

Добро пожаловать читателям комикса Abstruse Goose

Этот комикс по большей части изображает мальчика, выдвигающего утверждения против теории струн. Многие используют эти утверждения как оправдание для того, чтобы ей не заниматься.

Детальный анализ комикса был проведен на сайте Любоша Мотла. Пожалуй, это наиболее обстоятельный разбор комикса, который когда либо был сделан.

Ключевые слова: юмор | Оставить комментарий
Роман Парпалак

Эффект Унру

28 февраля 2011 года, 15:37

Суть эффекта Унру заключается в том, что равноускоренный наблюдатель начинает видеть вокруг себя равновесное тепловое излучение, в то время как наблюдатель в инерциальной системе отсчета не видит ничего. В работе «Is there Unruh radiation?» авторов G. W. Ford и R. F. O'Connell есть вывод формулы для температуры Унру. Проследим за этим выводом.

Модель

Рассмотрим струну в пространстве (1 + 1) с лагранжианом

$$L=\int dy \left[ {\frac{\sigma }{2}}\left({\frac{\partial u}{\partial t}}\right)^{2}-{\frac{\tau }{2}}\left({\frac{\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\right].$$

Для случая скалярного поля нужно взять σ = 1/4π, τ = с2/4π. Несложно получить уравнение движения

$${\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$$

Его решение выписывается через ряд Фурье

$$u(y,t)=\sum_{k}\sqrt{{\frac{\hbar }{2\sigma L\omega }}}\left(a_{k}e^{i(ky- \omega t)}+a_{k}^{\dag }e^{-i(ky-\omega t)}\right),$$

где L — длина струны; частота и импульс связаны дисперсионным соотношением ω c|k|; сумма по импульсам пробегает значения, кратные 2π/L.

Квантование

Теперь проквантуем эту систему, потребовав выполнения коммутационных соотношений

$$\lbrack a_{k},a_{k^{\prime }}^{\dag }]=\delta _{k^{\prime}k},\quad\lbrack a_{k},a_{k^{\prime }}]=0.$$

Как утверждается, для струны в тепловом равновесии при температуре T можно определить следующие вакуумные средние:

$$\left\langle a_{k}a_{k^{\prime }}^{\dag }+a_{k^{\prime }}^{\dag}a_{k}\right\rangle =\,\mbox{cth}\, \frac{\hbar \omega }{2kT}\,\delta_{k^{\prime}k}, \quad\left\langle a_{k}a_{k^{\prime }}+a_{k^{\prime }}a_{k}\right\rangle =0.$$

Действительно, в первом выражении легко распознать $$2\bar{n}_k + 1$$. Среднее число квантов $$\bar{n}_k$$ дается статистикой Бозе — Эйнштейна, откуда и получается гиперболический котангенс.

Термодинамическое равновесие

Мы будем изучать поведение корреляционной функции поля

$$C(\Delta y,\Delta t)\equiv {\frac{1}{2}}\left\langle u(y_{1},t_{1}) u(y_{2},t_{2}) + u(y_{2},t_{2}) u(y_{1},t_{1}) \right\rangle ,$$

где Δy = y1 − y2, Δt = t1 − t2. Рассматривать спектральную плотность и пространственное распределение излучения было бы нагляднее. Но можно заниматься и корреляционной функцией, ведь она связана со спектральной плотностью (и, видимо, пространственным распределением) преобразованием Фурье.

После выполнения вычислений и перехода к бесконечной длине (→ ∞), связанного с заменой суммирования интегрированием, получаем

$$C(\Delta y,\Delta t)=\frac{\hbar }{4\pi \sigma }\int\limits_{-\infty }^{\infty }dk \frac{1}{\omega }\,\mbox{cth}\, \frac{\hbar \omega }{2kT}\cos \left( k\Delta y-\omega \Delta t\right).$$

Это выражение, вообще-то, расходится в области больших длин волн (или малых k). Но его можно, как обычно, разделить на сумму конечной части, зависящей от Δy и Δt, и бесконечной, не зависящей от этих переменных:

$$C(\Delta y,\Delta t) = const -\frac{\hbar }{4\pi \sigma c}\left(\ln \mbox{sh} \frac{\pi kT}{\hbar }\left(\Delta t-\frac{\Delta y}{c}\right)+ \ln \mbox{sh} \frac{\pi kT}{\hbar }\left(\Delta t+\frac{\Delta y}{c}\right)\right).$$

Корреляционная функция в фиксированной точке (Δy = 0) принимает вид

(1)$$C(0,\Delta t)=const-\frac{\hbar }{2\pi \sigma c}\ln \mbox{sh}\, \frac{\pi kT\Delta t}{\hbar }.$$

Еще нам понадобится корреляционная функция при нулевой температуре

$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)\equiv {\frac{\hbar }{4\pi \sigma }}\int\limits_{-\infty}^{\infty }\frac{dk}{\omega }\cos (k\Delta y-\omega \Delta t).$$

Здесь нужно выделять конечную часть по-другому. После преобразований получается

(2)$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)=const-{\frac{\hbar }{4\pi \sigma c}}\ln \left\vert\Delta t^{2}-\frac{\Delta y^{2}}{c^{2}}\right\vert.$$

Равноускоренное движение

Движение под действием постоянной силы F описывается в СТО известным уравнением

$${\frac{d}{dt}}{\frac{mv}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}}=F,$$

где под скоростью v понимается dy/dt. Его решение легко найти:

$$y={\frac{mc^{2}}{F}} \, \mbox{ch}\, \frac{F\tau }{mc},\quad t={\frac{mc}{F}}\,\mbox{sh}\, \frac{F\tau }{mc},\quad -\infty <\tau <\infty .$$

Параметр τ совпадает с собственным временем ∫dt (1 − v2/c2)1/2. Отсюда для двух точек на мировой линии можно получить, что

(3)$$\sqrt{\Delta t^{2}-\Delta y^{2}/c^{2}}={\frac{2mc}{F}}\,\mbox{sh}\, \frac{F\Delta\tau }{2mc},$$

где Δτ = τ1 − τ2.

Температура Унру

Из (2) и (3) получаем, что функция корреляции поля с нулевой температурой для точек вдоль мировой линии равноускоренного наблюдателя зависит только от Δτ:

$$C_{0}(\Delta y,\Delta t)=const-{\frac{\hbar }{2\pi \sigma c}}\ln \mbox{sh}\, \frac{F\Delta \tau }{2mc}.$$

Сравнение последнего выражения с (1) показывает, что поле с нулевой температурой будет выглядеть для движущегося равноускоренно наблюдателя так, как будто обладает температурой Унру

$$kT={\frac{\hbar F}{2\pi mc}}.$$

Выводы

Отметим, что температура Унру очень мала. Так, для ускорения, совпадающего с ускорением свободного падения, температура Унру равна 4·10−20 К.

Эффект Унру в некотором смысле аналогичен излучению Хокинга. Действительно, для равноускоренного наблюдателя существует так называемый риндлеровский горизонт, аналогичный горизонту событий черной дыры.

Были предложения проверить эффект Унру, наблюдая дополнительное излучение за счет тепловых флуктуаций ускоренно движущейся частиц, например, электронов, освещенных мощными лазерами. Однако ряд авторов опровергает наличие дополнительного излучения, заявляя о компенсации возможного испускания поглощением энергии вакуумных (уже теплых!) полей. Например, далее в упомянутой статье разбирается пример осциллятора, связанного со скалярным полем, и прямым вычислением показывается отсутствие излучения.

Несмотря на малую величину, эффект Унру имеет важное философское значение. Действительно, этот эффект позволяет в принципе определить абсолютное ускорение системы отсчета. Таким образом опровергается принцип Маха в формулировке, утверждающей, что «имеет значение только ускорение относительно неподвижных звезд».

Ключевые слова: равновесное излучение, квантовая теория поля, гравитация | Комментарии (19)

← сюда туда →