Орбифолд — это когда вы берёте какое то многообразие и производите отождествление его точек. Самые простые примеры на которых это понятие можно объяснить — это тор и конус. Возьмите комплексную плоскость C и фиксируйте комплексное число τ — называемое модулярным параметром тора. Произведите отождествление точек z ∈ C по правилу z∼z+τ, z∼z+1. В результате вы получите тор. Если Im τ≠ 0, то тор «подкручен». Или, отождествите точки комплексной плоскости по правилу z∼ze^2πi/N, где N — некоторое целое число. В результате получится конус. Существенным отличием конуса от тора в смысле орбифолда является наличие сингулярной точки — конической сингулярности z=0.

Рассмотрим комплексное пространство с тремя комплексными координатами z^a. Это пространство также может быть представлено как вещественное пространство с группой (локальных; однако, в дальнейшем будем считать, что мы начинаем с плоского евклидова пространства) вращений SO(6). Спиноры в этом пространстве преобразуются в спинорном представлении, Spin(6), экивалентно представимой как SU(4) группа преобразований 4х-компонентных комплексных спиноров в 6ти мерии (число комплексных компонентов спинора определяется числом плоскостей независимых и коммутирующих вращений, равным  [d/2], в каждой из которых спин равен ±1/2, тогда число компонент спинора равно 2^[d/2], где d — размерность пространства(-времени); например в d=3=(4-1) нерелятивистской квантовой механике спиноры 2х-компонентны).  Введём соответственно базис четырёх комплексных суперзарядов Q в пространстве представления этой группы, и пометим каждый из них индексом α.  Каждый суперзаряд имеет две вещественные степени свободы, соответсвующие двум возможным проекциям спина. Всего получаем 8 степеней свободы, что есть, конечно, число степеней свободы спинора в шести измерениях, или число независимых вращений в трёх комплексных плоскостях.

Каждый набор

$$\varepsilon ^\alpha_{(i)}=(\varepsilon ^\alpha _{1(i)}, \varepsilon ^\alpha _{2(i)}, \varepsilon ^\alpha _{3(i)})$$

задаёт как соответствующий суперзаряд преобразуется при вращении

$$z^a\rightarrow e^{i\phi _a}z^a$$

в трех комплексных плоскостях. А именно, $$\varepsilon ^\alpha _{a(i)}$$ есть вес вращения z^a координаты для iй (i=1,2) степени свободы спинора Q_α. Полное преобразование спинора Q_α при вращении пространственных координат на углы φ^a тогда имеет вид (суммирование по a но не по α)

$$Q_\alpha\rightarrow\exp\{i\varepsilon^\alpha_{i(a)}\phi^a\}Q_\alpha$$

Теперь, построим конифолд. Конифолд — это пример орбифолда, «многомерный конус», полученный идентификацией нескольких комплексных координат по правилу

$$z_a\rightarrow e^{i\frac{2\pi}{N}n^a}z_a$$

Такая идентификация по сути есть факторизация по группе Z_N, осуществленная на комплексных координатах рассматриваемого пространства. Точка z=0 — конифолдная сингулярность — при этом фиксирована. Также определим  Z_N как подгруппу группы унитарных преобразований симметрии нашего исходного плоского комплексного пространства, т.е. если мы орбифолдим m из трёх комплексных координат, то мы берём Z_N⊂SU(m). Что требует только одного:

$$\sum_{a=1}^m\phi^a=0\quad\text{mod\; N}$$

для $$\phi^a=\frac{2\pi}{N}n^a$$. Это уравнение очень важно в вопросе о том, какие суперсимметрии выживают орбифолдинг. Действительно, из него следует, что для того, чтобы суперзаряд был инвариантен относительно орбифолдной идентификации, необходимо, чтобы

$$\sum_a\varepsilon^\alpha_{i(a)}\phi^a=0$$

Что означает, что все $$\varepsilon$$ должны быть равны друг другу.

Если мы орбифолдим все комплексные координаты, то это условие оставляет только два суперзаряда, которые инвариантны: со спинами (1/2, 1/2, 1/2) и (-1/2, -1/2, -1/2). Изначально было 2³=8 различных спиновых конфигураций (различных спиноров). Таким образом только 1/4 суперсимметрий сохранилась.

Другой пример — это выбрать 2 комплексные плоскости и орбифолдить их. Тогда в двух плоскостях спины должны быть одинаковыми, что с учётом двух возможных спинов в третьей плоскости даёт 4 независимых спинора, т.е. половина суперсимметрий нарушена.

Наконец замечу, что условие того, что группа орбифолдных преобразований принадлежит SU(3) не является необходимым. Если она не принадлежит SU(3), то условие

$$\sum_{a=1}^m\phi^a=0\quad\text{mod\; N}$$

не выполняется и таким образом всю суперсимметрию можно нарушить.

Benny Hill: It is the most meaningful thing I've ever said: life is like a double bed.

«Joanna Bakewell-Tart»: Why?

Benny Hill: Why what?

Хочу обсудить то, по какой наиболее вероятной причине люди делают комментарии определённого рода на лекциях. Например, допустим на струнной лекции, расчитанной на широкую аудиторию (в том числе не-струнщиков), вроде лекции по применению голографии к физике конденсированного состояния, человек встаёт и говорит, что хочет заметить, что AdS/CFT  - это гипотеза, а не теорема. Во-первых замечу, что AdS/CFT  - это действительно не теорема. Это физическая теория, которая прошла все возможные тесты, и потому на данный момент совершенно надёжная. [Не говоря уже о том, что как следствие теории струн AdS/CFT по определению верная теория, однако тут я пожалуй воздержусь от этой аргументации, ибо это не предмет данного обсуждения.] В принципе это то как работает физика — вводится теория, если она самосогласованна, не противоречит другим установленным теориям и эксперименту, то эту теорию начинают применять. Поэтому комментарий о том, что «AdS/CFT — это гипотеза», совершенно неуместен на лекции по AdS/CMT. Извините, но в указанном мной выше смысле все разумные люди в аудитории это и так знают. Поэтому единственная причина, по которой человек может вставить такой комментарий, состоит в том, что он хочет оправдать себя в том, что сам не потрудился ни заниматься ни изучить что такое AdS/CFT или теория струн. И этот человек хочет, чтобы струнщики официально «простили» ему это и признали то, что они просто дурачатся со своей голографией.

«Within three pages, Sir Isaac Newton was explaining the law of gravitation to Mistress Gwyn, who had already hinted that she would like to do something in return.»

(A. Clarke, A Fall of Moondust)

Разумеется, я не могу оставить полностью непрокомментированной статью A. Sen «Logarithmic corrections to Schwarzschild and other non-extremal black hole entropy in different dimensions», о которой я узнал благодаря сайту Любоша Мотла, я постараюсь писать о том, о чём ЛМ не написал :) Помимо того статья интересна тем, что представляет результаты логарифмических петлевых поправок к формуле Бекенштейна — Хокинга для энтропии чёрной дыры

$$S=\frac{A}{4}\,,$$

которые я не буду обсуждать, она также предъявляет полезное сравнение этих результатов с таковыми, полученными в области сомнительной деятельности, называемой петлевой квантовой гравитацией. Результат сравнения показывает, что петлевая квантовая гравитация предсказывает неверную логарифмическую поправку к формуле Бекенштейна — Хокинга. Вспоминая то, с каким подгоном даже формула Бекенштейна — Хокинга выводится в петлевой квантовой гравитации, можно смело утверждать, что петлевая квантовая гравитация — неправильная конструкция.

В целом, рассуждения проводятся следующим образом. Вы рассматриваете общее решение чёрной дыры в некотором пространстве времени. Чёрная дыра обладает массой M, зарядом Q, и угловым моментом J. Двум последним канонически сопряжены химический потенциал μ и угловая скорость вращения чёрной дыры ω. Можете считать, что у вас есть несколько зарядов и несколько хим-потенциалов, это непринципиально. Термодинамический потенциал даётся формулой

$$\Omega =E-TS+\omega J+\mu Q\,,$$

где T = 1/β есть температура чёрной дыры.

Евклидова квантовая гравитация описывается функциональным интегралом,

$$Z(\beta,\,\omega,\,\mu)=\int D\Psi e^{-S_E[\Psi]}\,,$$

где Ψ обозначает все присутствующие поля.

Но, с другой стороны, функциональный интеграл даёт выражение для большой статистической суммы, из которой можно посчитать термодинамический потенциал:

$$\Omega=-T\log Z\,.$$

В результате получаем формулу для энтропии чёрной дыры:

$$S(M,\,J,\,Q)=\log Z+\beta (M+\omega J+\mu Q)\,.$$

В классической гравитации Z это просто потенцированное с обратным знаком классическое действие, посчитанное на полях, удовлетворяющих классическим уравнениям движения,

$$Z_{cl}(\beta,\,\omega,\,\mu)= e^{-S_{cl}[\Psi_{cl}]}\,.$$

Далее, квантовые эффекты, учитывающие петли, меняют этот результат, в результате чего энтропия тоже получает поправки. Ведущая поправка оказывается пропорциональной площади горизонта чёрной дыры. Важен коэффициент. На примере чёрной дыры Шварцшильда:  если a — это радиус чёрной дыры в единицах планковской длины, то поправка к энтропии в однопетлевом приближении равна

$$\Delta S\simeq 1.71\log a\,.$$

Петлевая квантовая гравитация предсказывает

$$\Delta S\simeq -2\log a\,.$$

Это совершенно разные результаты.

В этом посте я хочу разъяснить некоторые фундаментальные вещи, связывающие понятие о квантовании гравитации и теорию струн. Утверждение состоит в том, что теория струн — это единственный возможный способ проквантовать гравитацию, при этом не лишаясь предсказательной силы из-за введения бесконечного количества подстроечных параметров.

 В то время как идея о каноническом квантовании гравитации является, очевидно, абсолютно глупой с самого начала, и любая теория, с ней связанная, есть набор совершенно бесполезной писанины, есть ещё другой популярный «способ» построить альтернативу теории струн. Он основывается на наивной и любительской по своей сути надежде на то, что существует другая фундаментальная теория, не являющаяся теорией струн, которая сводится к классической гравитации Эйнштейна как эффективной теории, определенной до некоторого масштаба энергии (такой как планковская энергия).

Для начала напомню о том, что такое планковская энергия и какое значение она имеет. В физике высоких энергий для формулировки физических принципов всегда разумно пользоваться естественной системой единиц, в которой постоянная Планка и скорость света равны единице. Это означает, что длина и время имеют одну и ту же размерность, обратную размерности массы.

Если c — это скорость света в вакууме, ħ — это постоянная Планка, а m — это какая то масса в системе единиц ħ = c = 1, такая что в этой системе постоянная Ньютона — единственная размерная константа связи среди сильного, электрослабого и гравитационного взаимодействий с размерностью −2 (размерность массы равна 1) — есть G = 1/m², то в исходной системе единиц, такой как СИ или СГС, постоянная Ньютона есть G = ħc/m². Вы можете это легко проверить, записав размерности постоянной Планка, постоянной Ньютона и скорости света через размерности длины, времени и массы.

 Также можно оценить величину множителя ħc = 10⁻²⁶ [сила в ньютонах умножить на квадрат длины в метрах] в системе СИ. Довольно мало. Существует так называемая планковская система единиц. Её отличие от естественной ħ = c = 1 системы состоит в том, что в ней всё безразмерно: теперь не просто масса есть обратная длина, а длина есть временной интервал, но ещё и постоянная Ньютона кладётся равной единице. Это означает что для такой системы m = 1. Сколько это весит в СИ? Это (ħc/G)^1/2=10⁻⁸ килограмм. Не особо много, но для элементарной частицы оказывается очень много, даже слишком много для простоты описания. В гигаэлектронвольтах это 10¹⁹.

Всё это более или менее пока была дискуссия о том, как правильно выбрать систему единиц в физике высоких энергий, чтобы не таскать за собой бесполезным образом фундаментальные константы, и как потом вернуться, скажем, в СИ, и сравнить результаты с экспериментом. Какой физический смысл планковской энергии? Короткий ответ на этот вопрос — это характерный масштаб энергии, при котором эффекты квантовой гравитации нарушают теорию гравитации Эйнштейна. Поскольку классическая гравитация Эйнштейна описывает геометрию пространства-времени и связь этой геометрии с распределением материи, то мы видим, что на планковском масштабе классическое понимание искривлённой геометрии неприменимо.

Теперь о физической стороне, объясняющей этот короткий ответ. Мы живём в квантовом мире. Любое классическое описание так или иначе применимо только на больших расстояниях по сравнению с длиной волны де Бройля. Это утверждение касается всего, в том числе и гравитации, потому что оно применимо ко всем объектам, а все объекты, обладая энергией, создают гравитационной поле. Каков критерий классичности гравитации? Этот критерий такой же по своей сути, как и критерий классичности механики, и связан со сравнением масштаба длины с длиной волны де Бройля. Он определяется масштабом энергии, до которого можно применять классическую гравитацию Эйнштейна, и этот масштаб находится из требования того, что длина волны де Бройля высокоэнергетической частицы становится равной радиусу Шварцшильда этой частицы. Когда это происходит, гравитацию больше нельзя считать слабой, ей больше нельзя пренебречь. И эта трансформация её роли — чисто квантовый эффект.

Вы можете придти к этому же выводу, исходя из того, что при ренормгрупповом потоке константа гравитационного взаимодействия уменьшается, и потому она больше при увеличении энергии (обоснованность существования ренормгруппового потока для гравитации такая же как и обоснованность его существования для любой другой теории — в квантовом мире ко всякой теории можно применить описание с помощью интеграла по путям, и потому ввести понятие эффективного действия). Поэтому вопрос о том, какова квантовая теория гравитации — актуальный вопрос, который требует решения. Гравитация должна быть квантовой теорией, и общая теория относительности должна быть эффективной теорией поля, выводимой из квантовой теории гравитации после того как вы, грубо говоря, явно проинтегрируете по всем высокоэнергетическим степеням свободы.

В квантовой теории поля есть понятие о перенормируемости. Это понятие уже обсуждалось в блоге в контексте голографической перенормировки, сейчас я просто кратко напомню о том, какое это имеет отношение к квантовой гравитации. Итак, наиболее высокая цель физики фундаментальных взаимодействий — это построение фундаментальных теорий (такие как теория струн — в нашей вселенной, стандартная модель — в несуществующем мире без гравитации и суперсимметрии; я не говорю о внутренних проблемах допланковского характера, вроде нестабильности хиггсовского потенциала и непредсказуемости времени жизни протона), которые сводятся к некоторым эффективным теориям (таким как стандартная модель в правильной физике высоких энергий, или теории ферми-жидкости Ландау и теории Гинзбурга-Ландау, да и самой БКШ, из которой выводится эффективно же теория Гинзбурга-Ландау; эффективность можно распространить в известном смысле на всю физику конденсированных сред).

Получить фундаментальную теорию из эффективной, не вводя никаких дополнительных предположений, невозможно, и это одно из проявлений необратимости ренормгруппового потока. (В некоторых случаях дополнительные аргументы позволяют в некоторой степени однозначно угадать фундаментальную теорию, но при этом всегда надо прибегать к условиям ненарушения существенных принципов.) Пример вытекающей проблемы — построение однозначного ультрафиолетовго дополнения МССМ.  Ренормгрупповой поток — это то, что даёт эффективную теорию, исходя из фундаментальной (определенной на всех масштабах энергии), когда вы «усредняете» по всем масштабам длины короче определённого. В реальных экспериментах всё, что измеряется, — это как раз длиннее определённого масштаба, так что непосредственно с экспериментом связываются именно предсказания эффективной теории. Утверждение о том, что теория струн в самом фундаментальном смысле непосредственно должна подтверждаться экспериментом потому является чушью. А вот утверждение о том, что эта нетестируемость на эксперименте означает, что вместо теории струн должна существовать другая «более простая» фундаментальная теория всего, которая отличается от теории струн в лучшую сторону тем, что проверяется экспериментом — является следствием совершенного непонимания того, что есть фундаментальная физика.

Поэтому «тестирование» на правильность фундаментальной физической теории — это в большей степени сугубо теоретический процесс, и утверждение состоит в том, что этот процесс может выдержать только одна теория — теория струн. В силу этого утверждения любая фундаментальная подтеория, включенная в теорию струн, является правильной по определению теории, описывающей природу на фундаментальном уровне. Любая эффективная теория, не выводимая из теории струн, должна быть исключена из числа серьёзных теорий. И я уже не говорю о том, что любая фундаментальная теория, отличающаяся от теорией струн, сразу становится неверной. Все эти утверждения можно обобщить в одно: согласие с теорией струн и согласие с экспериментом — это одно и то же. Если вы хотите, чтобы ваша теория имела отношения к реальной физике — убедитесь в том, что она следует из теории струн. Если вы убедились в обратном — забудьте об этой теории, она точно неверна, и представляет собой скорее всего какую-то хаотичную символьную флуктуацию. Я даже не хочу заменять слово «символьную» на слово «математическую», потому что понятие «математика» зарезервировано за тем, что несёт за собой некую абстрактную ценность (как математика теории струн), в то время как ложные физические теории бесполезны на всех уровнях.

Далее, я хочу прокомментировать лекции Польчинского в летней школе при Стэнфордском ускорителе в 1998 году. Это хорошая статья, и там есть множество аргументов в поддержку теории струн, или лучше сказать — помогающих понять теорию струн (я рекомендую её всю для прочтения, как чёткий и объективный источник стандартной информации касательно теории струн, и в другом посте я бы с удовольствием обсудил такие вещи как электромагнитную дуальность и прочие сильно-слабые дуальности в теории струн, которые невероятно чётко объясняются Польчинским фактически «на пальцах»), но я хочу обсудить только то, что связано с ультрафиолетовым дополнением квантовой гравитации.

Итак, специфицируемся в секцию 5 цитированной статьи. То, что Польчинский пытается сделать, собственно, состоит в том, чтобы построить более-менее общую теорию, которая учтёт тот факт, что гравитация приносит ещё одно соотношение неопределенности, помимо соотношения Гейзенберга δxδp≥1, а именно обрезание на геометрию  δx≥L_p, что Польчинский переписывает в стиле соотношения Гейзенберга:  δxδx≥L_p² (в такой форме это что-то вроде простейшего примера UV/IR связи, можете посмотреть главу 10 книжки Susskind «Introduction to black holes, information and string theory revolution»; как вы знаете, более продвинутый пример такой связи — это ads/cft соответствие, где UV теории поля на границе соответствует IR теории в объёме (в смысле радиальной координаты), грубо говоря, и наоборот).

Так или иначе, Польчинский записывает гамильтониан матричной квантовой механики N нерелятивистских частиц. Замена координат X^m_i для i-й частицы с пространственным индексом m матрицами X^m_ij с обоими нижними индексами, принимающими значения от 1 до N — обычное матричное представление некоммутирующих операторов, которое в «классическом» пределе сводится к коммутирующим диагональным матрицам, с координатами частиц на диагонали. Далее, к гамильтониану добавляется потенциальный член, который должен уничтожаться в классическом пределе, и быть большим, когда квантовые эффекты существенны. Такой член, существование которого должно быть учтено в гамильтониане, есть ~M[X, X]². Он пропорционален некоторой большой массе M и коммутатору двух разных координатных матриц X (чтобы получить ненулевой O(N) скаляр, из соображений симметрии надо этот коммутатор возвести в квадрат), и этот член удовлетворяет обоим условиям, описанным выше. Итак, просто требуя описание динамики частиц в некоторой геометрии и до-планковских энергиях, а также нарушение геометрии на планковском масштабе, мы серьёзно ограничили вид возможного гамильтониана. Дальше следует наблюдение — записанный гамильтониан есть просто бозонная часть BFSS матричной теории струн, а именно построения M теории как матричной квантовой механики. По сути это 0+1 мерная редукция N=16 суперсимметричной калибровочной теории в десятимерии,  описывающая динамику D0 бран. Таким образом, вывод состоит в том, что любая квантовая теория гравитации — это теория струн.

Возьмите взаимодействующую систему фермионов — ферми-жидкость — при нулевой температуре. В равновесии фермионы заполняют фазовое пространство внутри ферми-сферы, с радиусом k_F.  Среди возбуждений такой жидкости можно выделить возбуждение квазичастиц-квазидырок и нулевой звук. Нулевой звук — это коллективное возбуждение квазичастиц взаимодействующей ферми-жидкости, он имеет непрерывный спектр, ω = u₀k. Возбуждение квазичастиц-квазидырок — это хаотичные, неколлективные возбуждения над поверхностью Ферми, и область фазового пространства, где частоты и импульсы таких возбуждений принимают значения, называется континуумом Линдхарда. При малых частотах ω диапазон импульсов возбуждённых квазичастиц из континуума Линдхарда — от нуля до k = 2k_F. Так что спектральная функция квазичастиц Ферми жидкости имеет сингулярность при двух импульсах Ферми.

Сильновзаимодействующая Ферми-жидкость — это система, которая должна описываться дуальной теорией гравитации в режиме слабой связи. Такое применение AdS/CFT соотвествия называется AdS/CMT, где CMT означает condensed matter theory. Эта область теории струн получила довольно широкое распространение в последние несколько лет. Наиболее выдающиеся результаты включают вывод отношения вязкости и плотности энтропии при нулевой температуре η/s = 1/4π (см. недавний обзор), имеющие довольно хорошее согласие с экспериментом RHIC по измерению вязкости кварк-глюонной плазмы, описание сверхпроводников, наблюдение поверхности Ферми в «AdS₂-металле», описание эффекта Холла.  И, наконец, наиболее близкое (в смысле желательно описываемой системы) к данной статье — это описание нулевого звука.

Недостающим элементом было голографическое описание континуума Линдхарда, то есть наблюдение сингулярности при двух импульсах Ферми в голографически посчитанной спектральной функции квазичастичных возбуждений Ферми-жидкости. Недавно появившаяся работа Джозефа Польчински и Евы Сильверштейн «Large-density field theory, viscosity and „2k_F“ singularities from string duals» — это попытка решить эту задачу.

Система, которую они рассматривают, состоит из N₅ NS5 бран и N₁ F1-струн. Напомню терминологию. F1-струна, это, конечно, обычная суперструна, или фундаментальная струна. В бозонном секторе мультиплета супергравитации — низшего уровня струнных возбуждений — есть так называемое NS-NS поле B_μν, антисимметричное по своим индексам. Оно получается как антисимметричный сектор непривидомых представлений, в сумму которых разбивается произведение left-movers и right-movers

$$\alpha_\mu|0\rangle_L\times\tilde\alpha_\nu|0\rangle_R$$

Так или иначе, этому полю соответствует врешинный оператор, тоже антисимметричный по двум индексам, и соответственно в эффективном действии вы получаете взаимодействие открытой струны с NS-NS полем

$$S_{NS}\sim\int d^2\tau B_{\mu\nu}\partial^\mu X\cdot\partial^\nu X$$

Так что одна F1-струна имеет NS-NS заряд, равный единице. Соответственно N₁ фундаментальных струн имеют такой заряд, равный N₁. Если у вас есть струны, и вы хотите посчитать их NS-NS заряд, то вы можете воспользоваться теоремой Гаусса: окружить струны сферой и проинтегрировать поток Ходж-дуальной напряженности H₍₇₎ = ★H₍₃₎ = ★(dB₍₂₎) через эту сферу. Чтобы окружить струну в 9+1 измерениях, вам нужна (9−1−1=7)-сфера, в результате

$$N_1=\int_{S^7}\star (dB_{(2)})$$

Но вы всегда можете задаться вопросом об электромагнитно дуальной системе. Чтобы получить магнитный заряд, вам нужно найти поток F_μν через сферу. В случае точечной частицы в 3+1 измерениях это та же самая сфера, S² (где 2=3−0−1), что вы используете для того, чтобы проинтегрировать ★F_μν и найти электрический заряд. В случае фундаментальной струны, вы должны проинтегрировать H₍₃₎ по 3-сфере. В  9+1 измерениях 3-сфера окружает (9−3−1=5)-брану. Такая брана называется NS5 брана, ибо она носит магнитный NS5-заряд. Это объект, который электромагнитно сопряжен фундаментальной струне.

К слову, замечу, что другой тип слабо-сильной дуальности в теории струн (типа IIB) — это S дуальность, которая обменивает NS-NS заряд и R-R заряд. Например, фундаментальная струна взаимодействует с NS-NS полем B_μν через лагранжиан, выписанный выше, но вы можете взять тот же лагранжиан, заменить в нем NS-NS поле B_μν на R-R поле C_μν, присутствующее в теории суперструн типа IIB, и вы просто получите лагранжиан взаимодействия D1-браны с R-R полем C₍₂₎. Так что S-дуальность обменивает «струнные объекты» и «D-бранные объекты». В том числе S-дуальность обменивает D5- и NS5-браны. Ну и, наконец, электромагнитная дуальность обменивает D1- и D5-браны, что замыкает весь цикл.

Вообще говоря, у вас конечно есть SL(2, Z) группа S-дуальности, которая переводит (p, q) заряд (R-R, NS-NS) в (p', q') заряд (это целочисленная группа, ибо заряды должны быть целыми в силу правила квантования Дирака, и детерминант равен единице, чтобы обратные преобразования тоже давали вам целые заряды).  И дальше вы можете следуя Вафе добавить два измерения, и компактифицировать (11+1)-мерную теорию на 2-тор, для того чтобы сделать группу S-дуальности SL(2, Z) геометрической — это просто будет группа модулярных преобразований тора. Полученная теория в результате задаёт основу F-теории.

Струнная конструкция Польчински и Сильверштейн подразумевает разложение при большой плотности. Что это значит? В AdS/CFT люди обычно берут калибровочную теорию с большим количеством цветов N, и производят разложение корреляционных функций по 1/N. В низшем порядке этого разложения вы просто суммируете все планарные диаграммы (всё то, что вы можете нарисовать на плоскости, когда будете изображать пропагатор калибровочного поля с помощью полоски, где края полоски соответствуют двум индексам калибровочного поля, живущего в присоединённом представлении калибровочной группы). В AdS/CFT существуют определённые соотношения между параметрами калибровочной теории и параметрами дуальной теории струн. Например, в AdS₅/CFT₄ у вас есть N = 4 суперконформная калибровочная теория поля, и у вас есть AdS₅×S⁵ геометрия, которая создаётся стопкой D3-бран. Радиус кривизны пространства AdS и сферы даётся выражением

$$R^4\sim N\,\ell_s^4\,g_s$$

где $$\ell_s$$ — это струнная длина, и g_s — струнная константа связи, связанная с константой связи Янга — Миллса выражением g_s ~ g_YM². Наконец, константа связи тХуфта есть λ = g_YM², так что большая константа тХуфта означает, что радиус кривизны AdS значительно больше струнной длины. Все поправки струнной теории возмущений (поправки, учитывающие поля, эффективно описывающие высшие возбуждения струны — то, что лежит выше низшего уровня, дающего мультиплет супергравитации) даются в порядке обратной константы связи тХуфта, а все поправки, связанные со струнными петлями, например петли в теории гравитации, заносятся в категорию поправок, связанных с обратным количеством цветов. Если вы хотите использовать AdS/CFT «по назначению», вам желательно обеспечить дуальную теорию в объёме AdS такой, чтобы это была классическая теория гравитации. Для этого вам нужно добиться того, чтобы радиус кривизны пространства AdS был большим. Тогда вы берёте двойной предел большой константы связи тХуфта и большого количества цветов. 

Польчински и Сильверштейн предлагают сделать радиус кривизны AdS большим введя конечную плотность F1-струн, размазанных по четырем пространственным направлениям мирового объёма NS5-бран. Размазанных означает, что у вас есть конечная плотность струн в четырехмерном подпространстве мирового объёма NS5-бран. Специфика именно этой выбранной конфигурации струнных объектов состоит в том, что струнное решение для неё известно точно, во всех порядках теории возмущений по струнным разложениям. Т.е. тут не обязательно ограничиваться классической супергравитацией — вы можете сказать чему равно голографическое выражение для корреляционной функции тока материи в теории поля точно, решив дуальную теорию струн. Мы вернёмся к этому ниже, а пока посмотрим, как вводится конечная плотность струн.

Для начала, следуя Польчински и Сильверштейн, рассмотрим решение IIA-супергравитации, соответствующее D0-бранам, размазанным в p пространственных измерениях. Итак, пространство-время искривляется энергией (и R-R зарядом) D0-бран. На сколько сильно? Хорошо если не особо сильно, чтобы теория гравитации была слабой и мы могли применить теорию возмущений для струнных петель. Чтобы  сделать оценку величины кривизны в зависимости от плотности ρ₀ размазывания D0-бран в p измерениях, и в ~L^p объёме, запишем действие супергравитации

$$S\sim\int\frac{d^{10}x}{\alpha^{\prime 4}}\left(\frac{{\cal R}}{g_s^2}+\frac{|H_{(3)}|^2}{g_s^2}+\sum_{\tilde p}|F_{(\tilde p)}|^2\right),$$

где в IIA супегравитации суммирование осуществляется по R-R полям с нечётным рангом $$\tilde p$$. Если N₀ — количество D0-бран, то ρ₀~N₀/L^p, и $$\inline \int_{S^8}F_{(8)}=N_0\sim L^p\rho_0$$. Здесь мы учли то, что D0-брана является источником для R-R поля C₁ с напряжённостью F₍₂₎ и для того, чтобы найти полный RR заряд D0-бран мы должны окружить их сферой S⁸ и проинтегрировать по ней поток Ходж-дуальной напряжённости F₍₈₎.

Какую геометрию мы ожидаем получить в качестве решения? Ответ на этот вопрос известен. Понять происхождение этого решения можно следующим образом. Будем следовать идеи матричного подхода к M теории. Как известно, M теория, которая описывает  M2-браны (и магнитно-дуальные к ним M5-браны), может быть сформулирована как матричная квантовая механика, описывающая D0-браны. Матрицы получаются когда вы рассамтриваете эффективные поля, описывающие калибровочный сектор возбуждений открытых струн, соединяющих D0-браны, так что каждый конец струны вводит индекс матрицы. Один из концов струны живёт в фундаментальном представлении калибровочной группы (к нему приписывается индекс зарядов Чана-Патона), а другой — в антифундаментальном (Чан-Патоновский индекс «с чертой»). Таким образом, вы можете описать M2-браны с помощью D0-бран, размазанных по пространству с некоторой конечной плотностью. Но геометрия, создаваемая M2-бранами — это AdS₄×S⁷, так что мы можем обобщить этот результат и заключить, что D0-браны, размазанные по p пространственным направлениям, ведут себя как p-брана, по крайней мере в «нулевом приближении» То есть они создают некоторую «AdS × S» геометрию. В некотором смысле вы можете размазать D0-браны по p = 3 измерениям, и получить решений с геометрией, напоминающей AdS₅/CFT₄ в знаменитом решении, используемым в AdS₅/CFT₄ соответствии. Решение даётся уравнением (2.10) в статье Польчински и Сильверштейн.

Если R — это радиус кривизны «AdS × S» геометрии, создаваемой  рассматриваемыми D0-бранами, то мы можем оценить кривизну Риччи как $${\cal R}\sim 1/R^2$$. Эта кривизна создаётся «материей» D0-бран с плотностью ρ₀, и потому, сопоставляя члены кривизны (действие Эйнштейна-Гильберта) и материи (действие для R-R поля) в действии супергравитации, мы получаем

$$R^{7-p}\sim g_s\rho_0$$

Восстанавливая струнную дину, получаем

$$(R/\ell_s)^{7-p}\sim g_s\ell_s^p\rho_0\quad\Rightarrow\quad R^{7-p}\sim g_s\rho_0\ell_s^7$$

Таким образом, можно добиться большого радиуса кривизны R и потому пертурбативного режима теории в объёме, введя большую плотность D0-бран ρ₀. Сравнивая это выражение со стандартным выражением из AdS₅/CFT₄, приведённым выше,

$$R^4\sim N_c\,\ell_s^4\,g_s$$

замечаем, что количество цветов N_c калибровочного сектора дуальной теории поля больше не должно быть большим для того, чтобы мы могли применить теорию возмущений с петлями струн в дуальной теории гравитации (хотя планарный подход тХуфта разумеется оказывается утерянным, что не важно, судя по всему, ибо мы всё равно исследуем теорию поля голографически). И мы не считаем что константа связи тХуфта бесконечно большая (что обычно используется для применении теории возмужений по струнным возбуждениям), ибо мы знаем, что в той системе, которую мы в конце концов хотим рассмотреть, пертурбативное решение по всем струнным возбуждениям и так известно точно.

Стоит заметить, что большая плотность D0-бран, разумеется, в некотором смысле эффективно тоже подразумевает большое количество цветов. Это легко увидеть если применить аналогию с матричной теорией струн, приведённой выше: вы всегда можете рассмотреть открытые струны, прикреплённые к D0-бранам, и низший уровень возбуждения таких струн эффективно описывается полями суперсимметричной калибровочной теории. Так что в данном примере с D0-бранами в некотором смысле большое количество цветов всё равно присутствует. Однако, теория, которую рассматривают Польчински и Сильверштейн, на самом деле описывает конечную плотность фундаменатальных струн, к которым уже никакие струны не прикрепляются.

Важным следствием AdS/CFT является возможность описывать взаимодействующую материю. Сами по себе D3-браны AdS₅/CFT₄ соответствия дают калибровочные поля, описывающими эффективно открытые струны, которые начинаются на одной из N_c D3-бран и заканчиваются, вообще говоря, на другой D3-бране. Чтобы добавить материю — возбуждение открытых струн в фундаментально представлении калибровочной группы — можно, например, ввести пробные браны в AdS₅×S⁵ геометрии цветовых D3-бран.  Несколько таких бран добавляет ароматную симметрию к теории. Полчински и Сильверштейн вместо этого рассматривают конечную плотность Dp-бран (на примере D0-бран, описанном выше) и конечную плотность F1-струн. В дуальной теории поля это соответствует конечной плотности материи.

В таком подходе мы, наоборот, начинаем с материи, которую теперь хотим заставить взаимодействовать. В AdS/CFT есть так называемый семиголографический метод, позволяющий это осуществить. Суть метода состоит в том, что вы считаете часть пропагаторов голографически с помощью теории в объёме, и потом прикрепляете теорию к калибровочным полям, с известным теоретико-полевым пропагатором. Существенным элементом является большое количество цветов — только тогда вы можете точно просуммировать все возможные диаграммы взаимодействия сектора материи и калибровочного сектора (эффект факторизации при больших N). Нечто подобное было применено  для N = 4 плазмы. Применимость этого метода к системе Польчински и Сильверштейн однако довольно сомнительна, ибо количество цветов в их модели вовсе не является большим.

Просто ввести цветовые браны тоже не правильно, ибо тогда цветовые браны тоже будуте искривлять геометрию, и малая константа связи в теории струн будет требовать большого количества цветов, так же как и в AdS₅/CFT₄, где вам нужно рассмотреть предел больших N_c, чтобы получить большой радиус кривизны R и малую константу струнного взаимодействия g_s. Польчински и Сильверштейн считают, что цветовые браны, которые вы добавляете в теории помимо размазанных бран, существенны для геометрии ровно на столько на сколько и размазанные браны. Если это так то действительно, количество цветовых бран должно быть большим, а Польчински и Сильверштейн избегают этого требования.

Вместо всего этого они вводят N₅ количество NS5-бран. Сопоставляя член Эйнштейна-Гильберта $${\cal R}/g_s^2$$ и член NS-NS материи $$|H_{(3)}|/g_s^2$$, где $$H_{(3)}\sim N_5/R^3$$, получаем $$R^2\sim N_5$$. Далее, т.к. $$H_{(7)}\sim \rho_1/R^3$$, то сопоставляя этот член с членом Эйнштейна-Гильберта, получим $$g_s\sim R^2/\rho_1$$. Восстанавливая единицы изерения (восстанавливая струнную длину $$\ell_s=\sqrt{\alpha'}$$), находим

$$R^2\sim N_5\alpha’\,,\quad\quad g_s^2\sim\frac{N_5}{\rho_1\alpha^{\prime 2}}$$

где ρ₁ есть плотность размазывания F1-струн по 4х-мерному подпространству мирового объёма NS5-бран. Большая плотность ρ₁ обеспечивает одновременно сильное взаимодействие материи в теории поля и малость струнной константы взаимодействия g_s, в то время как N₅ ~ 1. И что самое главное, струнное решение такой системы, создающей геометрию AdS₃×T⁴×S³ (в инфракрансом режиме: «около горизонта» чёрной браны, в то время как в ультрафиолетовом режиме это так называемая little string theory) точно известно. Фундаментальные струны размазаны по T⁴ подпространству, радиус тора впоследствии устремляется к бесконечности, давая четыре некомпактных измерения теории поля с конечной плотностью материи в них.

Одна из основных идей статьи Польчински и Сильверштейн состоит в том, что сингулярности известных голографических корреляционных функций при конечно импульсе вдоль T⁴ могут быть проинтерпретированы как 2k_F сингулярности в ферми-жидкости — которые я упомянул здесь в самом начале в связи с обсуждением континуума Линдхарда. Другим результатом является то, что отношение вязкости к плотности энтропии, посчитанное голографически в данной модели, не получает никакие поправки за пределами классической супегравитации. Интересно, что данные результаты не зависят от конкретного значения частоты (сингулярность точно в 2k_F имеет место только при нулевой частоте, в то время как при увеличении частоты значение импульса при котором корреляционная функция сингулярна тоже увеличивается), и что дуальная система не обладает нулевым звуком.

Я пока не вижу никаких однозначных аргументов, которые бы указывали независимым образом на то, почему струнная конструкция Польчински и Сильверштейн не поддерживает коллективных возбуждений. Вот некоторые соображения по этому поводу. Геометрия AdS₃×T⁴×S³ создаётся N₅ NS5-бранами, и N₁ F1-струнами, причём струны «протянуты» вдоль одного из пространственных направлений NS5-бран. Решая такую теорию струн мы рассматривает (1+1)-мерную CFT на мировой поверхности струны. Т.е. вы можете начать с теории F1-струны (нескольких таких струн, введя некий произвольный уровень WZW модели, описывающей бозонный сектор суперструны, и соответствующий количеству F1-струн), добавив к ней NS5-брану, которая в силу электро-магнтиной дуальности возникает естественным образом. И дальше решать теорию струн пертурбативно. На уровне супегравитации можно провести следующую аналогию: в то время как стопка чёрных 3-бран создаёт AdS₃₊₂ геометрию (умножить на сферу), F1-струны создают AdS₁₊₂ геометрию (умножить на сферу и на тор). Суммирование размерности тут это не обозначение для сигнатуры метрики а просто сопоставление размерности AdS и размерности бран. Отличие случая с D3 бранами от данного случая состоит в том, что для D3-бран не известно точно струнное решение — так что ограничиваются супергравитацией в AdS₅×S⁵, в то время как теория струн в AdS₃ решается точно.

В то время как в случае AdS₅ геометрии мы рассматриваем дуальную теорию поля в CFT₄ на границе AdS, в данном случае фундаментальных струн дуальная CFT на границе AdS есть CFT₂, но мы рассматриваем теорию поля в 6+1 измерениях мирового объёма NS5-бран. И затем конечная плотность — плотность струн — имеется только в T⁴ направлениях (в которых производятся вычисления корреляционных функций для тока и для тензора энергии-импульса), в то время как в двух направлениях CFT на границе AdS такой конечной плотности вовсе нет. Я бы ожидал что нулевой звук появился бы именно в этих направлениях, но так как там нет конечной плотности, то это не представляется возможным.

Другой спецификой построения Польчински и Сильверштейн является то, что их плотность в дуальной ферми-жидкости не может флуктуировать, и потому в таком описании невозможно получить нулевой звук. Действительно, в классическом применении AdS/CFT конечная плотность материи в теории поля соответствует потоку электромагнитного потенциала в объёме, так что динамика потока (малые флуктуации) в объёме описывают флуктуации плотности в теории на границе. В то время как конфигурация Польчински и Сильверштейн кажется «фиксированной» в этом отношении.

Обсудим некоторые шаги, которые приводят Польчински и Сильверштейн от теории струн, решённой точно в AdS₃, к двухточечным функциям в (6+1)-мерной little string theory на  AdS₃×T⁴×S³. Теория суперструн описывает поля конформной теории поля CFT₁₊₁ на мировом объёме струны. В теории бозонной струны на AdS₃ (дающей те же резултаты касательно корреляционных функций, что и суперструна на AdS₃) вы записываете действие Полякова с пространством отображения, имеющим геометрию AdS₃. Естетсвенный способ сформулировать такую теорию — это записать WZW действие SL(2, R) сигма-модели с элементами

$$g=\left({{X_{-1}+X_1}\atop {-X_0-X_2}}\;{X_0-X_2\atop X_{-1}-X_1}\right)\quad X_{-1}^2+X_0^2-X_1^2-X_2^2=1$$

Последнее равенство определяет AdS₂₊₁. Хорошо, дальше вы решаете теорию пертурбативно. Как я заметил выше, уровень WZW модели соостветсвенно переформулируется как количество N₅ NS5-бран. Физическая интерпретация проста — чем больше бран, тем тяжелее и «классичнее» теория, соответсвенно множитель перед действием (уровень WZW модели) увеличивается пропорционально. Далее, AdS₃ теперь находится в прямом произведении с S³ и T⁴, так что полный вершинный оператор струнных возбуждений есть произведение вершинных операторов в трёх подпространствах. И потому конформная размерность операторов струнных возбуждений есть сумма конформных размерностей в этих трёх подпространствах. Согласно теории струн в AdS₃ вклад AdS в конформную размерность есть

$$\Delta_{ws}=-\frac{2j(j-1)}{N_5}$$

где j ∈ (1/2, (N₅+1)/2) описывает вершинный оператор Φ_j в AdS (ниже будет сопоставлен с конформной размерностью дуального оператора в теории поля, и потом с импульсом возбуждения в теории поля). Индекс «ws» означает. что это конформная размерность в CFT на мировом листе струны. Конформная размерность первичного оператора Φ(z) — это собственное значение оператора алгебры Вирасоро L₀ (для left-movers заменить на L˜₀) при соответствующем состоянии $$\inline |\Phi\rangle=\lim_{z\rightarrow0}\Phi(z)|0\rangle$$. Одновременно это соотношение переформулируется как условие физичности состояния

$$(L_0-1)|\Phi\rangle=0,\quad\quad (\bar L_0-1)|\Phi\rangle=0$$

В случае струны в плоском пространстве отображения вы просто получаете отсюда выражение для спектра возбуждений струны,

$$\alpha'M^2=N_L-1=N_R-1$$

в то время как в случае струны на AdS₃×T⁴×S³ с учётом «плоского» выражения на торе

$$\Delta _{ws,T^4}=\frac{q^2\alpha'}{2}+2,$$

вы получаете условие физичности струнных состояний в форме

$$-\frac{2j(j-1)}{N_5}+\frac{q^2\alpha'}{2}+\Delta_{ws,S^3}=2$$

Если на сфере S³ импульс равен нулю, то в результате получаем

$$j=\frac{1}{2}(1\pm\sqrt{1+N_5q^2\alpha'})$$

Это как раз половина конформной размерности скалярного оператора

$$\Delta _\pm=\frac{d}{2}\pm\sqrt{\frac{d^2}{4}+m^2R^2}$$

в AdS/CFT (d = 2 для  AdS₃). Половина — это вклад либо от left-movers, либо от right-movers. Так что можно заключить, что оператор Φ_j описывает голографически дуальный оператор $${\cal O}$$ с конформной размерностью

$$\Delta=2j=1\pm\sqrt{1+N_5q^2\alpha'}.$$

Это довольно универсальный результат, когда он применяется к произвольному оператору с индексами в направлении T⁴: такой оператор является скаляром для двумерной CFT, дуальной AdS₃. Все соотстветствующие двухточечные корреляционные функции пропорциональны

$$\text{Im}(G_j^R)\sim \hat B(j)\sim \Gamma\left(1-\frac{2j-1}{N_5}\right)$$

Гамма-функция сингулярна, когда j → (N₅+1)/2, что в силу условия физичности состояния приведённого выше означает, что

$$q=q^\star= \left(\frac{N_5}{4}-\frac{1}{4N_5}\right)\frac{1}{\alpha'}\simeq g_s\sqrt{\hat\rho_1}\left(\frac{\sqrt{N_5}}{4}-\frac{1}{4N_5^{3/2}}\right)$$

Импульсы всех возбуждений рассматриваются вплоть до этого предела, который таким образом интерпретируется как 2k_F. Заметим, что конечность N₅ существенна для наблюдаемости этой сингулярности.